ZF公理系统

ZF公理系统是策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF系统，主要内容如下：

(ZF1)外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。

(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。

(ZF3)无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。

(ZF4)并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。

准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。

(ZF5)幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。

准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。

(ZF6)无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。

准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”

根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。

(ZF7)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”。

(ZF8)替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。

(ZF9)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。

准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”

注：以上全部即是ZF公理系统的内容