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Legendre多项式

正交性物产

Legendre多项式的例子

在数学, Legendre作用 解答 Legendre的微分方程:

他们以后被命名 Adrien-Marie Legendre. 这常微分方程频繁地遇到物理并且其他技术领域。特别是，它发生，当解决 Laplace的等式 (和关连偏微分方程) 球状座标.

Legendre微分方程也许使用标准解决电源串联方法。等式有规则单一点在 x= 1如此，级数解关于起源只将一般来说，聚合为 |x| < 1. 当 n是整数，解答Pn是规则的(x) x=1也是正规兵在 x=-1和系列为这种解答终止(即。是多项式)。

这些解答为 n = 0， 1， 2，… (以正常化 Pn(1)=1)形式a 多项序列正交多项式叫 Legendre多项式. 每Legendre多项Pn(x)是 nth度多项式。它也许被表达使用 Rodrigues的惯例:

内容
1 正交性物产2 Legendre多项式的例子3 Legendre多项式的应用在物理4 Legendre多项式另外的物产5 被转移的Legendre多项式6 分数秩序Legendre多项式7 参见8 外部链接9 参考

正交性物产

Legendre多项式的重要物产是他们是正交关于 L内积在间隔时间?1 ≤ x ≤ 1:

(δ的地方mn 表示 Kronecker三角洲相等到1，如果 m = n 并且到0否则)。实际上， Legendre多项式的供选择的派生是通过执行克Schmidt过程在多项式{1， x, x…} 关于这内积。这正交性物产的原因是Legendre微分方程可以被观看作为a Sturm-Liouville问题

那里本征值λ对应 n(n+1).

Legendre多项式的例子

这些是最初的少数Legendre多项式：

10　
这些多项式图表(由决定 n = 5)如下所示：

Legendre多项式的应用在物理

Legendre多项式是有用的在扩展作用象

那里 r 并且 r'' 是传染媒介的长度并且分别和 γ 是角度在那些二传染媒介之间。这扩展在哪里举行 r > r''. 这个表示用于，例如，获得a潜力点电荷毛毡在点当充电位于点时 . 当集成这个表示在一块连续的电荷分布时，扩展使用Legendre多项式也许是有用的。

Legendre多项式在解答发生 Laplace等式潜力, 在空间的一个无充电区域，运用方法分离变量法边界条件有轴向对称的地方(对的没有依赖性方位角角度). 那里是对称轴和 θ 是角度在观察员的位置之间和轴(天顶角度)，解答为潜力将是

并且是根据每个问题的边界条件将被确定.

Legendre多项式在多极的扩展

Legendre多项式也是有用的在形式的扩展作用(这是相同象前面，少许不同地写) ：

哪些升起自然地多极的扩展. 等式的左边是母函数为Legendre多项式。

为例，电潜力 Φ (rθ) (在球状座标)由于a 点电荷位于 z-轴在 z = a (。 2) 变化喜欢

如果半径 r 观察点 P 大于 a潜力在Legendre多项式也许被扩展

那里我们定义了了 η = a / r < 1 并且 x = cosθ. 这扩展用于开发法线多极的扩展.

相反地，如果半径 r 观察点 P 小于 a潜力在Legendre多项式也许仍然被扩展如上所述，但与 a 并且 r 交换。这扩展是内部多极的扩展的依据。

Legendre多项式另外的物产

Legendre多项式是相称的或反对称，那是

从微分方程和正交性物产是结垢的独立， Legendre多项式的定义“通过被称规范化” (有时叫“正常化”，但注意实际准则不是团结)，以便

在终点给衍生物

Legendre多项式可以使用三个期限递归关系被修建

并且

有用为Legendre多项式的综合化是

被转移的Legendre多项式

被转移的Legendre多项式 被定义 . 这里“转移的”作用 (实际上，它是仿射变换)被选择这样它制约到间隔时间 I= [0,1] bijectively地图 I 到间隔时间 [?1,1]暗示多项式是正交的 I:

为被转移的Legendre多项式给一个明确表示

类似物 Rodrigues的惯例为被转移的Legendre多项式是：

最初的少数被转移的Legendre多项式是：

0　1

1　2x ? 1

2　6x ? 6x + 1

3　20x ? 30x + 12x ? 1