泛布尔代数公理体系_在线百科全书查询
泛布尔代数公理体系
基本概念
逻辑值
泛布尔代数中的量，只取“0”和“1”两个不同的值，称为逻辑值。0、1又叫做逻辑常量。
因素与状态变量
因素是系统表现出来的（运动）特征的抽象。
例如在一位半加器“和”运算和“进位”运算的系统中，被加数、加数等便是因素。又如，某一化工控制过程的“温度偏差”和“压力偏差”都是该系统的因素。
因素不参与逻辑运算，只起名称作用，也称为名称变量或名义变量，我们用带下标的大写英文字母表示，如X1，X2 等等。
将“反映因素所处(数值)状态”的变量称为状态变量。状态变量只能取两个不同的逻辑值（0或1），或简称变量。
用带2个下标（下标1-下标2）的小写字母xi-j表示相应于因素Xi的第j 个状态的状态变量。
例如在三进制一位半加器“和”运算的系统中，反映“被加数”这一因素X1所处状态的变量是“被加数为0”、“被加数为1”、“被加数为2”并分别用x1-1、x1-2和x1-3等状态变量表示。状态变量本身就是取值为0或者1的变量。x1-1取值为0，表明因素X1不处于第1个状态（被加数不为0），而取值为1，表明因素X1处于第1个状态（被加数为0）。反映“加数”这一因素X2所处状态的变量是“加数为0”、“加数为1”、“加数为2”并分别用x2-1、x2-2和x2-3等状态变量表示。X2-1取值为0，表明因素X2不处于第1个状态（加数不为0），而取值为1，表明因素X2处于第1个状态（加数为0）。其他状态变量都有类似的解释。
数学模型
用带下标的大写英文字母X1，X2，X3，... 表示考察系统中的诸因素。将其中任一因素Xi所可能出现的种种状态的总数称作相应于Xi的“状态数”，记为ni ( i = 1，2， 3，......)。又用带2个下标（下标1-下标2）的小写字母xi-j ( i = 1,2,...； j = 1,2,..., ni) 表示相应于Xi的第j 个状态。这里xi-j是一个参与逻辑运算的变量，称为状态变量，即当第j个状态出现时，xi-j 取值为1，而当第j个状态不出现时，则xi-j取值为0。在泛布尔代数中，每个因素Xi在某一确定场合，仅呈现ni个状态中的一个状态。这是由概念的划分规则所决定。即划分的各个状态互不相容，划分的各状态之逻辑和必须穷尽被划分的因素。这一划分规则在状态变量中的反映，就是要求如下两规则同时得到满足：
（1）xi-1 + xi-2 +...+ xi-ni=1
（2）对任何j， k， 只要 1 ≤ j < k≤ ni，必有xi-j xi-k=0
此处，“”和“+”仍然表示逻辑乘与逻辑加。
这二规则是从许许多多实际系统陈述中抽象得出，它便是泛布尔代数中的“状态律”的实际背景。
例如在三进制一位半加器“和”运算的系统中，“被加数”这一因素的三个状态变量x1-1，x1-2，x1-3中必须有一个状态变量为真，而且这三个状态变量彼此不可能同时为真，即：
x1-1+ x1-2+ x1-3=1
对任何j， k， 只要 1 ≤ j < k≤ 3，必有xi-jxi-k=0
具体地说，上式还可写成
x1-1 x1-2=x1-1 x1-3=x1-2 x1-3=0
这即是说，三进制一位半加器运算中，被加数只能在0、1、2三个数中选择一个，而这三个数中只有一个数在一次运算中出现，而不可能二个被加数同时出现。
“加数”这一因素的三个状态变量x2-1，x2-2，x2-3中必须有一个状态变量为真，而且这三个状态变量彼此不可能同时为真，即：
x2-1+ x2-2+ x2-3=1
对任何j， k， 只要 1 ≤ j < k≤ 3，必有x2-jx2-k=0
具体地说，上式还可写成x2-1 x2-2=x2-1 x2-3=x2-2 x2-3=0
显而易见，这种数学模型中的规则，除了上面（1）与（2）两个规则不同于布尔代数的“补余律”之外，其余结合律、交换律、分配律和0-1律等均与布尔代数中一样成立，故称为泛布尔代数。为使上述论述形式化和严格化，下节确立泛布尔代数的形式公理构造。
泛布尔代数公理系统
基本符号
状态变量 ：xi-1，xi-2，...， ，i=1，2，3，...
常 量 ： 0 ，1
运算符号 ： + (逻辑加) (逻辑乘)
相 等 ： =
技术符号 ： （，）
形成规则
（1） 单独一个常量或状态变量符号是泛布尔代数项；
（2） 如果A和B是泛布尔项，则（A + B）和（A B）是泛布尔代数项；
（3） 仅由（1）、（2）所形成的“项”才是泛布尔代数项；
（4） 若A和B均是泛布尔代数项，则A=B是泛布尔代数公式。
泛布尔代数公理系统构造
在下面公理中，A、B、C表示任一泛布尔代数项。
交换律：
A + B= B + A
A B = B A
分配律：
A (B + C) = (A B) + (A C)
A + (B C ) = (A + B)(A + C)
0—1律：
A + 0 = A
A 1 = A
结合律：
(A + B)+ C = A + (B + C)
(A B) C= A (B C)
状态律：对任一正整数i，存在唯一≥2的整数ni （状态数）与之对应；
xi-1 + xi-2 +...+ xi-ni=1
xi-j xi-k=0 (1≤j<k≤ni)
公理系统介绍完毕。
逻辑补运算
补运算递归定义如下：
/0= 1
/1= 0
/xi-j=xi-1+ xi-2 +...+ xi-(j-1) + xi-(j+1) +...+ xi-ni
若A、B的补分别为/A、/B，则
/(A + B) =/A /B
/A B = /A + /B
规定：泛布尔公式中最外层的括号以及（A B）+ C这样一类表达式中的“”及括号可以省略。
已经证明了布尔代数中的补余律在泛布尔代数系统中是成立的。这样，在泛布尔代数中(交换律、分配律、0—1律、结合律)和证明了的补余律一起构成布尔代数公理系统。因而布尔代数中的任一定理都可以在泛布尔代数中获得证明，所不同的只是/A的内容而已。
