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等角螺线
等角螺线
来自 dufei
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等角螺线是指形式为：
<math>r = ab^\\theta</math>
的螺线。
定理
等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot-1 ln b。设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-1 ln b，名为「倾斜度」
等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。
从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。
建造等角螺线
在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中 a, b ≠ 0，那么连起 z、z²、z³…… 的曲线就是一条等角螺线。
若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 ez 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
使用黄金长方形：
自然现象
鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
菊的种子排列成等角螺线
鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
昆虫以等角螺线的方式接近光源
蜘蛛网的构造与等角螺线相似
旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12。
历史
等角螺线是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布．伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。
等角螺线又称为对数螺线。
