等角共轭

1、几何学中，设点P是三角形ABC平面上一点，作直线PA、PB和PC分别关于角A 、B和C的平分线的反射，这三条反射线必然交于一点[1]，称此点为P关于三角形ABC的等角共轭。 （这个定义只对点，不是对三角形ABC的边。）点P的等角共轭点经常记作P*，显然P*的等角共轭点即为P。

内心I的等角共轭点是自身。垂心H的等角共轭点是外心O。重心的等角共轭点是类似重心K。在三线坐标中，如果X = x : y : z是不在三角形ABC边上的一点，那么它的等角共轭是1/x : 1/y : 1/z。因此，X的等角共轭有时也记作X −1。三角形内部的点集S在三线乘法

(p : q : r) * (u : v : w) = pu : qv : rw，

下构成一个交换群。 S中任何一点X的逆是X −1。

因为等角共轭是一个函数，从而我们可以讨论一个点集的等角共轭。譬如，直线的等角共轭是一条外接圆锥曲线；确切的，若直线交外接圆于0、1或2 点，其等角共轭分别为椭圆、抛物线或双曲线。外接圆的等角共轭是无穷远直线。一些有名的三次曲线（例如：Thompson三次曲线、Darboux三次曲线、Neuberg三次曲线）是自等角共轭的，即如果X位于这些三次曲线上，那么X −1也在其上。

2、等角共轭定理

2.1等角点的一个常用性质（Poncelet定理）：

“设E、F是∠APB内的两点，满足∠APF=∠BPE。作P关于PA、PB的轴对称点S、T．求证：FS=FT．”

Poncelet定理等价表述为：

“∠APB内的一对等角点E、F（即满足∠APF=∠BPE），关于PA、PB两边的光路反射路径长度一定相等！”

2.2“角内两点形成等角关系的另一充要条件是，它们在两边上的四个射影共圆！ 所共圆圆心即为这组等角点的中点．”

3.在圆锥曲线中的应用举例

由椭圆外一点P引椭圆的两条切线PE、PF，则椭圆的两焦点为∠EPF内的一对等角点．

3.1等角共轭解决《圆锥曲线的几何性质》问题282

3.2较复杂的等角共轭问题，暂时没想出来思路（《圆锥曲线的几何性质》问题196、43）

3.3 四点共圆中的结论，找不到思路（《圆锥曲线的几何性质》问题289）