代数数论_在线百科全书查询

代数数论

数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程x^n + y^n = z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。

具体介绍

唯一因子分解和理想类群

素元和素点

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具体介绍

代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程xn+yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明，由于地方太小而未写下。经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

容易看出，这个结果的证明，可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果，但始终没有得到一个一般的证明。E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根代数数论把方程 xn+yn=zn写成（公式1）代数数论,他以为在分圆域代数数论中， “整数”也象普通整数一样，可以唯一地分解成素数的乘积。在这个前提下，库默尔给出费马大定理的证明。不久，他自己发现他的假定是错误的，即在分圆域中， “整数”分解成素数的乘积不具有唯一性。这个发现使库默尔引入“理想数”的概念,他随之证明了,每个“理想数”可以唯一地分解成素因子的乘积，因而就建立了分圆域上的数论。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，为代数数论奠定了基础。

C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。

有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域，K 对Q 的次数n=【K:Q】就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式（公式2）的根。因为乘一非零整数后，多项式的根不变，所以不妨假定(1)是整系数多项式。如果K 中元素α使一个首项系数为1（即α0=1）的整系数多项式(1)为零,那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法（公式3）

即由A、B中元素之积的有限和组成的集合，显然，AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明，在代数整数环OK中,每个非零理想A都可以唯一地分解成素理想的乘积,即A=P1P2…Pt，其中Pi(i=1,2,…,t)是素理想。在通常的整数环Z中,每个理想都是由一非负整数的倍数所组成，因之，非零理想与正整数是一一对应的。由此可见，关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。

OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以唯一地表成素理想方幂的乘积（公式4）这个群称为K的理想群，记为IK。

环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群，记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的（公式5）

其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想（公式6）CK称为K的理想类群,其元素是理想类。按定义IK，中两个理想A、B属于同一类,当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是:CK为一有限阿贝尔群,hK=|CK|称为K的类数。当hK=1，即每个理想都是主理想，OK为一主理想环，从而因子分解唯一性定理成立。在一定意义上，理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在，类群结构的研究与类数的计算，始终是代数数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的，近年来一个值得注意的进展是：A.贝克和H.M.斯塔尔克各自独立地于1966年和1967年确定出类数是 1的全部虚二次域（公式7）它们分别是d=1，2，3，7，11,19,43,67，163等9个。

正合列（2）的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数，2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律，是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。

设L是代数数域K上的一个l次扩张，L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL，显然,（公式8）且OL为OK的一个有限生成模。

如果OL是OK上一自由模（秩一定是l）,那么在OL中就有l个元素r1，r2，…，rl构成OL的一组基,即（公式9）这样的元素组r1,r2,…，rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时,由主理想环上有限生成模的结构定理可知,OL对于OK一定有整基。特别地,代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。在一般的情况下，整基不一定存在。

设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解（公式10）

因为代数整数环是戴德金环，素理想都是极大理想，即代数整数环对于素理想的商环是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,…,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令（公式11）它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有（公式12）

如果在(3)中有某个ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除，就说P 在L 中分歧,而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就称为K 的一个非分歧扩张。

判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,…,vl，可知det│Tr（vi,vj）│=0的充分必要条件是v1，v2,…,vl，在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1，v2，…，vl，作（公式13）对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1，v2，…，vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K),它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧,当且仅当P|Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多个，且L为非分歧扩张的充分必要条件是：Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明,有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。

在L中定义C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一个理想，称为L对于K 的差积。可以证明，OL中素理想Q在K上分歧，当且仅当Q|δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。

研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系，是代数数论的一个重要的方面。

设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g（L/K）是伽罗瓦群。可以证明，在分解式（3）中,素理想Q1，Q2，…,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的，因而有即对于OK中素理想P有代数数论代数数论且Q1,Q2，…,Qg有相同的剩余次数ƒ。公式(4) 就成为l=eƒg。令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群，即代数数论代数数论，显然【g:D1】=g，|D1|=eƒ。令岧=OL/Q1，噖 =OK/P，于是D1中每个元素诱导出岧/噖的一个自同构。可以证明，代数数论是一满同态。令K1为这个同态的核，显然，【D1:K1】=ƒ，│K1│=e，D1称为Q1的分解群，K1称为Q1的惰性群。对Qi相应地有子群Di与Ki, 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时,代数数论代数数论(因噖、岧是有限域)。由伽罗瓦基本定理，相应地有一串域代数数论代数数论是L的一个最大的域,P 在其中不分歧。当P 分歧时，群K1还可进一步细分，即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论，称为希尔伯特分歧理论。

对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。

唯一因子分解和理想类群

代数数域K的整数环OK的元素的素分解和整数环Z的素数分解有不同之处，不是每个OK的元素都唯一分解。虽然OK元素的唯一分解束在某些情况下可能成立，如高斯整环，但在其它情况下可能会失败，如二次域Z [√-5]中，6就不是唯一分解

OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环OK理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环

O的唯一因子分解和OK素理想间关系

OK元素的唯一分解可能成立：这时OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一个戴德金整环）。这使得在研究OK的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为代数数域K的整数环OK后，整数环Z中素数就能生成Z素理想（其实，Z的每一个素理想（p）的形式是：pZ）可同一素数在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整环中，理想2Z[i]不再是素理想，

但理想3Z[i]是一个素理想。高斯整环唯一因子分解完整的答案使用费尔马大定理，其结果为：

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当代数数域K是有理数Q的阿贝尔扩张时（即阿贝尔群的伽罗瓦扩张）类域论实现了这一目标。

素元和素点

（根据类域论，因K为有理域Q时OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同）

在OK素理想的概念的一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法之间的关系如下：

运算为通常的绝对值函数||，映射有理域Q→实域R的，令绝对值函数||p: 定义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中的素数。由奥斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic绝对赋值对Q是等价类,p-adic绝对赋值可看成类似通常素数。更普遍的，代数数域K的绝对赋值称为一个素点places。K中素元分两类：像p-adic绝对赋值||p这种等价类是有限的，被称为有限素元（有限素点）。而通过复域C的模||方式定义的素元可看成复域C一个无限子集，被称为无限素元（或无限点）。因此，一般表示Q的素元集合为{2，3，5，7，...，∞}，在这种情况下||∞是有理域Q的素元（素点）

K的无限素元可有嵌入同态K→C（即非零的环同态，从K到C）。具体来说，可把嵌入分成两个不相交的子集，那些像在R中算一个子集S1，其余的为另一子集S2。S1的每个嵌入σ：K→R，对应唯一一个和通常绝对值一样的绝对赋值;这种方式产生的一个素元的被称为一个实素元（或实素点）。S2的一个嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一个唯一的嵌入τ，称为共轭嵌入，组成的复共轭映射为τ的C→C.而此绝对赋值为复数的模：|z| = |z| 。这样的素元叫一个复素元（或复素点）。这样无限素元的集合的描述如下：每个无限素元对应到一个唯一的.

科技图书

基本信息

中文名: 代数数论作者: 冯克勤

图书分类: 教育/科技

出版社: 科学出版社

书号: 7-03-008190-0

发行时间: 2000年7月

地区: 大陆

语言: 简体中文

内容介绍

本书为《中国科学院研究生教学丛书》之一.

代数数论是研究代数数域和代数整数的一门学问. 本书的主要内容是经典代数数论. 全书共分三部分: 第一、二部分为代数理论和解析理论, 全面介绍了19世纪代数数论的成就; 第三部分为局部域理论, 简要介绍了20世纪代数数论的一些内容. 附录中给出了本书用到的近世代数的基本知识和进一步学习代数数论的建议. 每节末附有习题.

本书的读者对象是大学数学系教师和高年级学生, 也可作为研究生教材使用.

作者介绍

冯克勤, 清华大学教授. 1941年出生, 1968年中国科学技术大学数学系研究生毕业. 1973至2000年在中国科学技术大学数学系和研究生院 (北京) 任教, 2000年后到清华大学数学系工作. 从事代数数论和代数编码理论研究. 出版专著《分圆函数域》、《代数数论简史》等，出版大学生和研究生教材《整数与多项式》、《近世代数引论》、《交换代数基础》、《代数数论》和《代数与通信》等, 主编丛书《走向数学》.