伽利略变换
伽利略变换:若O´-x´y´z´参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xyz参照系运动,且t=0时两参照系的原点重合,则两参照系之间有如下关系:x'' = x − vt 、y'' = y 、z'' = z t'' = t 两参照系描述同一运动的速度是不同的,但加速度是相等的。 一切惯性系都是等价的,我们可以任取最为简洁的参照系进行计算。
基本简介
伽利略变换(Galilean trans- formations) 伽利略变换是在牛顿力学中用来联系各匀速运动(惯性)参考系的时间与空间变量的数学变换族。在两个方位相同的直角坐标系沿它们的公共轴 线(x,x,)运动的简单情况下,变换方程为 了一x一vt了一yzl一z t,=t, (l) 其中x,y,z与了,了,才是已知质点的空间坐标, v是一个坐标系相对于另一坐标系的速度。具有任意个位移量与方位的笛卡儿直角坐标系 之间的变换方程(x1=x,xZ~y,x3=z)为 x,,一艺c,(x。一a,一v*,) k一1 t,二t一a咯, (2) 其中al,。:,a3,a4与v,,vZ,v3都是任意实数,系 数(cj*)都是常数。矩阵c一〔‘们是实正交矩阵, 所以它满足条件C一’二C:,C一‘与C,分别为C的逆 矩阵与转置矩阵。伽利略变换形成一个10参数群,它可由空间与 时间坐标的平移、空间坐标系的旋转以及向运动参 考系的转换所组成。参阅“参考系”(frame of refer- ence)条。
公式
若O´-x´y´z´;参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xyz参照系运动,且t=0时两参照系的原点重合,则两参照系之间有如下关系:
x'' = x − vt
y'' = y
z'' = z
t'' = t
两参照系描述同一运动的速度是不同的,但加速度是相等的。一切惯性系都是等价的,我们可以任取最为简洁的参照系进行计算。
证明过程
设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动,自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(aij) (i,j=1,2,3,4),即
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ①
令R=(x,y,z),R’=(x’,y’,z’),A11=(aij) (i,j=1,2,3),A12=(ai4) (i=1,2,3),A21=(a4j) (j=1,2,3),A22=(a44), 则由K到K’的线性变换可改写为
R’=RA11+tA21,t’=RA12+ta44 ②
于是
dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44)
令dR/dt=V,dR’/dt’=V’,则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度,上式可改写为
V’=(VA11+A21)/(VA12+a44) ③
满足上述速度变换的初始条件有(1)洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件:“V’=0,V=U”与“V=0,V’=–U”;(2)满足伽利略变换的极限条件:|V|→∞时,|V’|→∞。
将条件(2)代入,并令V/|V|=V0得
|V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ (|V|→∞)
上式成立,必有A12’=0=(0,0,0) [注1],于是③式变为
V’=VA11/a44+A21/a44 ④
再将条件(1)代入④式,得
UA11/a44+A21/a44=0,A21/a44=–U
由此得
A21=–UA11,A21 =–Ua44
由于U=(u,0,0),代入上式便得a12=a13=a42=a43=0,a41=–a11u, a44=a11,再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0,代入④式,并令V=(vx,vy,vz),V’=(vx’,vy’,vz’),便得
(vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz,a22vy +a32vz,a23vy +a33vz)/a11 ⑤
由于对于vx’=0的点,vx =u,代入便得a21=a31=0;对于vy =0的点,vy’ =0,代入便得a32=0;对于vz =0的点,vz’ =0,代入便得a23=0,于是有
a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0,a41=–a11u,a44=a11
将上述条件代入①式得
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut),a22y,a33z,a11t) ⑥
又当t=0时,K与K’两惯性系重合,故当t=0时,有x’=x,y’=y,z’=z [注2] ,代入⑥式便得a11=a22=a33=1,这样就得到了伽利略变换为
(x’,y’,z’,t’)=( x–ut,y,z,t) 证毕。
[注1] A12’表示A12的转置。
[注2]显然这一条件是相对论所不容许的,但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛仑兹变换证明中的假定a22=a33=1,或根据洛仑兹变换证明中使用的惯性系平权原理:自K’系到K系的线性变换为A(-U),且A(U)A(-U)=E,亦能得到a11=a22=a33=1,从而得到伽利略变换,恕不赘述。
与相对论的关系及适用范围
伽利略变换与相对论无关,伽利略变换是牛顿力学的根基之一,反映了经典力学的时空观。
伽利略变换是在低速下(指V<<C时)的特殊数学物理工具
当V接近于C时伽利略变换不成立 此时需借助洛伦兹变换才可解决问题
推理过程
推论1
运动物体相对于参照系A:O''-x''y''z'' 的运动速度 v'' 等于该物体相对于参照系 B:O-xyz 的运动速度 v 与参照系 A 相对于参照系 B 的速度 v0 之和。
证明:
设该运动物体沿着x轴方向运动,并且在t=0时正好处于两个参照系的原点(如上述的情况:两参照系此时的原点重合)
则经过了时间t之后,该物体在参照系 A 中的坐标为
x'' = v''t ............................................ (1)
y'' = 0
z'' = 0
同样地,经过了时间t之后,该物体在参照系 B 中的坐标为x = vt ............................................. (2)
y = 0
z = 0
而此刻参照系 A 相对于参照系 B 的坐标关系有
x'' = x + v0t ......................................... (3)
y'' = y
z'' = z
由(1),(2),(3)式可得
v''t = vt + v0t
即 v'' = v + v0 .......................................... (4)
推论2
同一个运动物体相对于两个惯性参照系(匀速相对运动)的加速度相同
证明:
设该运动物体沿着 x 轴方向做匀加速运动,在 t=0 是正好处于两个参照系的原点,
并设此时其相对于参照系 A 的初始速度为 v'',加速度为 a''; 相对于参照系 B 的初始速度为 v,加速度为 a;
参照系 A 相对于参照系 B 沿着 x 轴方向运动并且速度恒为 v0。
则有
...................................... (5)
........................................ (6)
将 (5),(6) 代入 (3) 得
消去 t 即可得
将 (4) 式代入
⇔
⇔ a'' = a