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1880年，鲍茨以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数；六年后，惠特渥斯以及表示相同之意，而且，他还以表示可重复的组合数。至1899年，克里斯托尔以nPr及nCr分别表示由n个不同元素中每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数，并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数，这三种符号也通用至今。

1904年，内托为一本百科辞典所写的辞条中，以表示上述nPr之意，以表示上述nCr之意，后者亦同时采用了。这些符号也一直用到现代。

组合数学

定义

【数】从m个不同的元素里，每次取出n个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。其所有不同组合的种数用符号C n（上标）m（下标）表示，C n（上标）m（下标）=m(m-1)…(m-n +1)/n!=m!/(n!(m-n)!)。此外，规定C 0（上标）m（下标）=1。 C n（上标）m（下标）=C m-n（上标）?m（下标）;

概念

组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。

组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。

在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。

组合数的奇偶

对组合数C(n,k) (n<=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。

组合数的奇偶性判定方法为:

结论：

对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

证明：

　利用数学归纳法：

由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);

对应于杨辉三角：

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

………………

可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，

C(n,k)满足结论。

1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：

则有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1

。

现假设n&k == k。

则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：

则有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

现假设n&k == k.

则对于k最后一位为1的情况：

此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。

而对于k最后一位为0的情况：

则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。

相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。

而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。

则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：

则有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：10;

相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;

相应的，k-1的对应部分为： 01;

则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.

所以n的对应部分也就为： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)

所以 n&k = k。

4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：

则有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

分两种情况：

当k-1的最后一位为0时:

则k-1的末尾必有一部分形如: 10;

相应的，k的对应部分为 : 11;

相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;

所以n&k = k。

当k-1的最后一位为1时:

则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)

相应的，k的对应部分为 : 10;

相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 10;

所以n&k = k。

由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。

综上，结论得证!

音乐组合

概念

乐队是由2个以上乐手组成的音乐表演组合的通称，也可以叫做乐团。

组合形式

乐队的形式多种多样，按演奏作品不同区分，可以分为严肃音乐乐队，流行乐队，宗教乐队等等；按人数和乐器的不同，又可以分为交响乐队，军乐队，室内乐队，摇滚乐队，爵士乐队，电声乐队等等。一般而言，流行乐队的规模比较小，通常在5人左右，而较大规模的交响乐队最多可达数百人。乐队除了乐手外，通常还有指挥或者领奏，他们可以单独演奏纯音乐，也可以和歌唱演员配合完成歌曲。

随着现代国际交流的日益频密，世界各国的音乐交流也越来越多，乐队乐器的种类和乐队演奏风格也更多的开始相互影响，比如交响乐队前所未有的加入民族甚至流行元素，而流行乐队热衷于从浩瀚的古典名曲中汲取营养，来自美国的爵士和摇滚乐队风靡全球，中国民乐队以及非洲鼓乐队走向世界……乐队的内涵在不断的延伸，乐队演绎的内容在不断的充实，各类乐队展现在音乐爱好者面前的，将是更加丰富多彩的音乐盛宴！

乐队和乐团一般都有主唱贝斯手吉他手和鼓手。他们可以从作词作曲编曲混音后期制作完整的完成一首歌曲。而组合一般只是把歌曲在演唱方面通过不同的和声演绎出来。

爵士乐队

一种特别形式的乐队，第一次世界大战开始前创始于美国，大战结束后很快在西欧流行（以下略去介绍乐队构成的一些文字）

爵士乐队是现代资本主义城市的产物,资产阶级的爵士乐队演奏的音乐充满了嘈杂的叫嚣声,企图以此和街道上的公共场所(酒馆,商店等)的喧闹相竞争,而实际是把这种喧闹之声反映了出来.资产阶级的爵士乐队演奏的乐曲都是故作兴奋的,律动刻板的,无精打采的,下流庸俗的......恰恰像一块污泥丢到了纯净的水中,发出野蛮的叫嚣声,嗤嗤声,隆隆声,咆哮声,怒号声,噼啪声;怪异的声音会突然闯进来,让人联想到马嘶声,又有蠢猪的呼噜声,驴叫声,青蛙求爱的咯咯声......这些疯狂的声音形成一片混乱,用一种几乎无法捉摸的演奏表达出来,这样的哀叫声如果听上一两分钟,能令人认为是一个疯子的乐队在演奏----(高尔基:论胖子们的音乐),在苏联,资产阶级的爵士音乐并不流行.

组合团体

内地组合

青春美少女（内地最早的歌舞组合）

阿里郎

mic男团

至上励合

BOBO

i Me羽泉

A-one

零点乐队

RTA（天天向上生力军）

8090等

港台组合

S.H.E

景行厅男孩

Twins

五月天

sweety 黑girl

飞轮海

棒棒堂

Lollipop F

JPM

纵贯线

苏打绿

大嘴巴飞儿乐队

南拳妈妈energy

BY2

5566

K-one

183club

红孩儿

F.I.R

B.A.D

Enerey

日韩组合

AKB48

Idoling

帝国兄弟

早安少女组

w-inds.

ARASHI

kat-tun

Hey!Say!JUMP

JUMP

Lead

Flame

东方神起

jyj

SuperJunior

bigbangboyfriend

SHINee

SS501

S.E.S

jboy3

Fin.k.l

xing组合

baby.v.o.x

大国男儿

水晶男孩

少女时代

F(x）

wonder girls

神话

kara

brown eyed girls（褐眼女孩）t-ara

2NE1

after school

Davichi

2pm

2AM

F.T.lsland

CNBlueBeast

4minute

U-kiss天上智喜

teentop

大国男儿

Apink

Girl''sday

chocolate

Rainbow

ZE：A

MBLAQ

EXO-K

EXO-M

欧美组合

Sweet Box

Backstreet boys(后街男孩)

辣妹组合

西城男孩

BLACK EYED PEAS

BLUE

linkin park（林肯公园）

Maroon 5

coldplay

sum 41

green day

警察乐队

Jonas Brothers

野人花园

The killers