直角三棱柱

三条侧棱两两垂直的三棱锥简称直角三棱柱。

高中课本《立体几何(必修)》总复习参考题第5题是：“将正方形截去一个角，求证截面是锐角三角形．”本题研究的对象实际上是一种特殊的三棱锥——经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥．我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥．从结构上看，直角三棱锥是平面的直角三角形在空间内的扩展．

循着直角三角形的射影定理探究直角三棱锥可以得到：

性质1 在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直，那么△VAB、△VBC、△VCA的面积分别是它们在面ABC内的射影的面积和△ABC的面积的比例中项：

证明：作VH⊥面ABC，垂足是H，连AH、BH，则△HAB是△VAB在面ABC内的射影，连CH并延长之交AB于D，连VD．

∵VC⊥VA，VC⊥VB，

∴VC⊥面VAB，

∴VC⊥AB，VC⊥VD．

由三垂线定理的逆定理得CD⊥AB，

又由三垂线定理得VD⊥AB．

∵VH⊥面ABC，∴VH⊥CD．

在Rt△VCD中，由射影定理得VD2 = HDCD，

循着直角三角形的勾股定理探究直角三棱锥可以得到．

性质2 在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直，那么它的四个面

(由性质1可直接推出性质2，证明从略．)

设直角三角形的两个锐角为α、β，由二者互余有sin2α＋sin2β = 1和 cos2α＋cos2β = 1．循此对直角三棱锥进行探究可以得到：

性质3 在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直．

若VA、VB、VC与面ABC所成的角分别是α、β、γ，则

sin2α＋sin2β＋sin2γ = 1；

略证：(1)作VH⊥面ABC，垂足是H，连AH并延长之交BC于E，连VE，则∠VAE就是VA与面ABC所成的角，故∠VAE = α．仿性质1的证明可得

VA⊥VE，VE⊥BC，AE⊥BC，

根据性质2得

由VE⊥BC、AE⊥BC知∠VEA是面VBC与面ABC所成二面角的平面

性质4 在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直且其长度分别为a、b、c，那么，

(1)这个三棱锥的外接球的半径为

(2)这个三棱锥的内切球的半径为

(对于(1)，可将直角三棱锥补成长方体后加以推证；对于(2)，可将内切球的球心与三棱锥的各顶点相连把三棱锥分割成四个小三棱锥后利用体积进行推证．证明从略．)