正多面体_在线百科全书查询
正多面体
正多面体
所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的。
正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。
古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。
类型 面数 棱数 顶点数 每面边数 每顶点棱数
正4面体 4 6 4 3 3
正6面体 6 12 8 4 3
正8面体 8 12 6 3 4
正12面体 12 30 20 5 3
正20面体 20 30 12 3 5
种类
正多面体只能有五种，用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体。
右图即为正多面体及其平面展开图
证明
顶点数V，面数F，棱数E
设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱），即
nF=2E -------------- ①
同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即
mV=2E -------------- ②
由①、②，得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式V+F-E=2，
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数，所以1/E>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- ③
说明m,n不能同时大于3，否则1/m+1/n<1/2，即
③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以有以下几种情况：n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种
相同表面积的四面体、六面体、正十二面体、以及正二十面体，其中体积最大的是：正二十面体。
或者这么证明：
假设每个顶点由m个正n边形组成，由于每个顶点的角度必须小于360度，否则就成了平面了，可得：
m*（1-2/n）*180<360→m*(n-2)<2n→mn-2m-2n<0→mn-2m-2n+4<4→(m-2)(n-2)<4→m，n组合为：3，3；3，4；3，5；4，3；5，3几种
对偶性
把一个正多面体每个面的中心连起来,可以得到一个新的多面体.如果原来是正六面体,那么得到的是正八面体;如果原来是正八面体,那么得到的是正六面体.把这一性质称为正六面体与正八面体对偶.正十二面体与正二十面体对偶.而正四面体则与自己对偶.
正多面体只能有五种，用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体。
正多面体表面积与体积公式
其中sqrt(x)表示x的算术平方根。
各多面体的体积如下：
V4=sqrt(2)/12*a^3
V6=a^3
V8=sqrt(2)/3*a^3
V12=(15+7sqrt(5))/4*a^3
V20=(15+5sqrt(5))/12*a^3
各多面体的表面积如下:
S4=sqrt(3)*a^2
S6=6*a^2
S8=2sqrt(3)*a^2
S12=15/sqrt(5-2sqrt(5))*a^2
S20=5sqrt(3)*a^2
