一元三次方程_在线百科全书查询
一元三次方程
一元三次方程的标准型为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。
方程的定义
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。
方程标准型
形如aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）的方程是一元三次方程的标准型。
公式的解法
卡丹公式法
（卡尔达诺公式法）
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
【卡丹公式】
X⑴=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X⑵= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；X⑶=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式，
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
【卡丹判别法】
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
三角函数法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。为了消除复数，必须借助三角函数。
aX^3+bX^2+cX+d=0 当Δ<0
x1=-3a/b+2/a(b^2/9a-c/3)cos[(arccos(27a^3(2b^3+27a^2d-9abc)/2(b^2-3ac)))/3]
x2,3==-3a/b+2/a(b^2/9a-c/3)cos[(arccos(27a^3(2b^3+27a^2d-9abc)/2(b^2-3ac)))/32π/3]
简易重根法
卡尔丹公式的Δ=0时，本来方程有开立方，但却可以有简单表达式的
当p=q=0时，方程有三重根。x1=x2=x3=-3a/b
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时 x1=x2=(9ad-bc)/2(b^2-3ac) x3=(9a^d-4abc+b^3)/a(b^2-3ac)
盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
【盛金公式】
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
X(2，3)=(－2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；
其中Y(1，2)=Ab+3a(－B(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
X(2，3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；
其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)
【盛金判别法】
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
【盛金定理】
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。 盛金公式解法的以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP91—98 .
解方程故事
很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。（在初一和初二就会学习到有关内容）然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。
1494年，意大利数学家帕西奥利（1445—1509年），对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。
故事中第一个出场的人物：大学教授，费罗(Scipione del Ferro, 1465-1526)。
费罗在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500 年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功。相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因。那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器。
故事中第二个出场的人物：费罗的学生菲奥尔。
最后直到费罗临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。 他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以 这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了。菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世。只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚出现在他的面前。
故事中第三个出场的人物：塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 1499-1557) 。
这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。1512年，在 一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。于是就得了“塔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思。那时他还只有13岁。然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成就。1534年他宣称自己已得到了形如x3+mx2=n这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物开始碰面了。
二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜。塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来。这样他以30:0的战绩大获全胜。这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了。
塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题。或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表。于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向。
故事中出场的奇特人物卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501 -1576)。
卡尔达诺（卡尔丹），这位半路杀出来的“程咬金”，或许是数学史中最奇特的人物。他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生。但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋。除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果。他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。在他去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。”在我们故事中卡尔达诺所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩角色。
在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事。在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。故事的转折就这样开始了。
故事中最后一个出场的人物：费拉里(Ludovico Ferrari, 1522-1565)。
卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起。当然，如果说句公道话的话，卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造。然而，这种失信毕竟大大激怒了塔塔利亚。1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的 失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。这个学生的名字叫费拉里，是我们故事中出场的最后一个人物。
费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆。主人发现了他的出众才能，接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知遇之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程。于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂。最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终，后者宣称了自己胜利。由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻了。这对塔塔利亚来说似乎是太不公平了。不过，这又怎么样呢？在历史上，这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢？随着时间的推移，多少年过去后，在当时对于个人如此重要的事，对后人而言却不过是“古今多少事，都付笑谈中”而已。
