相似矩阵

设A，B为n阶矩阵，如果有n阶非奇异矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.

("P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵, "*" 表示乘号, "~" 读作"相似于".)

相似矩阵性质

设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

(1) A~ A

(2) 若A~ B，则 B~ A

(3) 若A~ B，B~ C，则A~ C

(4) 若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|

(5) 若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。

(6) 若A~ B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。

若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性

无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。

内容分布图示

相似矩阵与相似变换的概念

相似矩阵的性质

矩阵与对角矩阵相似的条件

矩阵对角化的步骤

矩阵可对角化的条件

矩阵对角化的应用

约当形矩阵的概念

内容要点：

一、相似矩阵的概念

定义1设A,B都n是阶矩阵, 若存在可逆矩阵P,使

P^(-1)AP=B,

则称是的相似矩阵, 并称矩阵与相似.记为.

对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.

矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：

(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;

(2) 对称性: 若相似, 则与相似;

(3) 传递性: 若与相似, 则与相似, 则与相似.

两个常用运算表达式：

(1) ;

(2) , 其中为任意实数.

二、相似矩阵的性质

定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.

相似矩阵的其它性质:

(1) 相似矩阵的秩相等;

(2) 相似矩阵的行列式相等;

(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.

三、矩阵与对角矩阵相似的条件

定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.

注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.

推论1若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵

相似.

对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P, 使为对角阵, 则称方阵A可对角化.

定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设是矩阵A的重特征值, 则

A与相似。

四、矩阵对角化的步骤

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现:

(1) 求出的全部特征值;

(2) 对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组

的基础解系由个向量构成, 即为对应的线性无关的特征向量；

(3) 上面求出的特征向量

恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;

(4) 令, 则

五、矩阵对角化的应用

1．利用矩阵对角化计算矩阵多项式

定理4 设是矩阵A的特征多项式,则.

2．利用矩阵对角化求解线性微分方程组

3．利用矩阵对角化求解线性方程组

在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事教师职业.

六、约当形矩阵的概念

定义2在n阶矩阵A中, 形如的矩阵称为约当块.

若一个分块矩阵的所有子块都是约当块, 即

中都是约当块,则称J为约当形矩阵,或约当标准形.

注: 对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵.

定理5对任意一个n阶矩阵A,都存在n阶可逆矩阵T使得

即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似.

例题选讲：

例1 (讲义例1) 设有矩阵 试验证存在可逆矩阵, 使得A与B相似.

例2

容易算出A与B的特征多项式均为但可以证明A与B不相似. 事实上, A是一个单位阵, 对任意的非异阵P有

因此若B与A相似, B也必须是单位阵, 而现在B不是单位阵.所以A与B不相似

例3 (讲义例2)试对矩阵验证前述定理2的结论.

例4 (讲义例3)试对矩阵验证定理2的结论.

注: 本例子说明了A的特征值不全互异时,A也可能化为对角矩阵.

例5 (讲义例4)判断矩阵能否化为对角阵.

例6 (讲义例5) 设 问为何值时, 矩阵能对角化?

例7下列矩阵是约当型矩阵(虚线是为了更清楚地表示分块情况而加上去的):

(4); (5)

(4)是一个对角阵, 它可看成是由4个1阶约当块组成的约当型矩阵. 一般来说, 一个n阶对角阵可看成为由n个1阶约当块组成的约当型矩阵. 也就是说对角阵是约当型矩阵的特殊情况.

(5)是由3个约当块组成的约当型矩阵, 其中左上角一块是一个1阶零矩阵, 它也是一个约当块.

例8下列矩阵不是约当型矩阵:

(1); (2);

(3); (4).

(1)中, 右下方一块主对角线上元素不相同, 因此不是约当块.

(2)的主对角线上元素不相同.

(3)的右下方一块主对角线上方的元素是而不是1, 因此也不是约当块.

(4)的右下方一块主对角线上方的元素是而不是1, 因此也不是约当块.

例9设矩阵

可求出它的特征值为2,1,1. 又可用解线性方程组的办法求出A的线性无关的特征向量有2个:

其中是关于特征值2的特征向量, 是关于特征值1的特征向量. 由于A的线性无关的特征向量个数为2, 小于A的阶数, 所以A不可能相似于一个对角阵. 但可以证明A与下列约当型矩阵J相似:

课堂练习

1. 判断矩阵能否化为对角阵.

2. 判断下列两矩阵A,B是否相似.