线性插值法

插值法

什么是线性插值法

如何进行线性插值

线性插值近似法

插值法

许多实际问题都用函数y=f（x）来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f（x）在[a,b]上是存在的，有的还是连续的，但只能给出[a,b]上的一系列点xi的函数值yi=f(xi)(i=0,1,……,n)，这只是一张函数表，有的函数虽然有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此，我们希望可以根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数P(x)。用P(x)近似f(X)。通常选一类简单的函数作为P(x)，并使P(xi)=f(xi)对i=1,2,……,n成立。这样确定下来的P(x)就是我们希望的插值函数，此即为插值法。

什么是线性插值法

线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值方法。

如何进行线性插值

假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的y值。

根据图中所示，我们得到（y-y0）(x1-x0)=(y1-y0)(x-x0)

假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值

α=(x-x0)/(x1-x0)

同样，α=(y-y0)/(y1-y0)

这样，在代数上就可以表示成为：

y = (1- α)y0 + αy1

或者，

y = y0 + α(y1 - y0)

这样通过α就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见 外插值。

已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。

双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。 假如我们想得到未知函数 f 在点 P = (x, y) 的值，假设我们已知函数 f 在 Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 以及 Q22 = (x2, y2) 四个点的值。首先在 x 方向进行线性插值，然后在 y 方向进行线性插值。与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法并不是线性的，而是是两个线性函数的乘积。线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。

线性插值近似法

线性插值经常用于已知函数 f 在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误差定义为

其中 p 表示上面定义的线性插值多项式

根据罗尔定理，我们可以证明：如果 f 有二阶连续导数，那么误差范围是

正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。