乌雷松引理

在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔萨穆伊洛维奇乌雷松命名的。

正式表述

乌雷松引理说明，X是一个正规拓扑空间，当且仅当只要A和B是X的不交闭子集，就存在一个从X到单位区间[0, 1]的连续函数：

f : X → [0, 1]， 使得对于所有A内的a，都有f(a) = 0，而对于所有B内的b，都有f(b) = 1。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意在以上的表述中，我们并不需要f(x) ≠ 0和≠ 1，对于A和B外部的x。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如，这个引理的一个推论是，正规的T1空间是吉洪诺夫空间。

证明

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