斯特藩-玻尔兹曼定律

斯特藩-玻尔兹曼定律

斯特藩-玻尔兹曼定律的推导

斯特藩-玻尔兹曼定律

斯特藩-玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann law），又称斯特藩定律，是热力学中的一个著名定律，其内容为： 一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总能量（称为物体的辐射度或能量通量密度）j* 与黑体本身的热力学温度T （又称绝对温度）的四次方成正比，即:

j*=εδΤ^4

其中辐射度j*具有功率密度的量纲（能量/(时间距离2)），国际单位制标准单位为焦耳/(秒平方米)，即瓦特/平方米。绝对温度T 的标准单位是开尔文， 为黑体的辐射系数；若为绝对黑体，则 ε = 1.

比例系数 σ 称为斯特藩-玻尔兹曼常数或斯特藩常量。它可由自然界其他已知的基本物理常数算得，因此它不是一个基本物理常数。该常数的值约为：5.670 400(40)×10^-8 Wm^-2K^-4

如图所示，其中KB为波尔兹曼常数，h为普朗克常数，c为光速。

后面的等式中hˉ=h/2pi 是狄拉克版的普朗克常数

所以温度为 100 K 的绝对黑体表面辐射的能量通量密度为5.67 W/m2，1000 K 的黑体为56.7 kW/m2，等等。

斯特藩-玻尔兹曼定律是一个典型的幂次定律。

本定律由斯洛文尼亚物理学家约瑟夫斯特藩（Jožef Stefan）和奥地利物理学家路德维希玻尔兹曼分别于1879年和1884年各自独立提出。提出过程中斯特藩通过的是对实验数据的归纳总结，玻尔兹曼则是从热力学理论出发，通过假设用光（电磁波辐射）代替气体作为热机的工作介质，最终推导出与斯特藩的归纳结果相同的结论。本定律最早由斯特藩于1879年3月20日以 Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur （《论热辐射与温度的关系》）为论文题目发表在维也纳科学院的大会报告上，这是唯一一个以斯洛文尼亚人的名字命名的物理学定律。

本定律只适用于黑体这类理想辐射源。

斯特藩-玻尔兹曼定律的推导

斯特藩-玻尔兹曼定律能够方便地通过对黑体表面各点的辐射谱强度应用普朗克黑体辐射定律，再将结果在辐射进入的半球形空间表面以及所有可能辐射频率进行积分得到。

式中Ω0黑体表面一点的辐射进入的半球形空间表面（以辐射点为球心），I(ν,T)为在温度T 时黑体表面的单位面积在单位时间、单位立体角上辐射出的频率为ν的电磁波能量。式中包括了一个余弦因子，因为黑体辐射几何上严格符合朗伯余弦定律（Lambert''s cosine law）。将几何微元关系 dΩ= sin(θ) dθdφ 代入上式并积分得：

（对频率的玻色积分项的计算方法参见条目多对数函数 (polylogarithm) ）