数学分析_在线百科全书查询
数学分析
1 数学下属学科
数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
^概述
数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。
微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。
^理论基础
数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。
^课程
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
^课程目标
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
^与其他学科的联系
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，经济学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
^《工科数学分析》目录
第一章 极限与连续
11集合与实数系
附录 √2是无理数的证明
12数列与极限
13收敛数列的性质和运算
14数列收敛的判别定理
附录 实数系完备性的进一步讨论
15函数的极限
16函数极限的性质和收敛准则
17无穷小和无穷大
18连续函数
19闭区间上连续函数的性质
第二章 导数及其应用
21导数
附录 自然科学和社会科学中的变化率问题
22求导法则与导数基本公式
附录 双曲函数及求导公式
23隐函数与参数式函数的求导法则
24高阶导数
25微分
26中值定理及函数的单调性、极值
27洛必达法则
28泰勒公式
29极值的判定和最值性
210函数的凸性和作图
211平面曲线的曲率
第三章 一元函数积分学
31原函数与不定积分
32换元积分法和分部积分法
33几类可积的初等函数
34定积分的概念
35函数可积准则
36定积分的性质
37积分上限函数与牛顿-莱布尼兹公式
38定积分的换元和分部积分法
39广义积分
310定积分的应用
第四章 微分方程
41微分方程的基本概念
42几类一阶微分方程的解法
43高阶微分方程的几种可降阶类型
44n阶线性微分方程解的结构
45常系数线性微分方程
46微分方程组
参考文献
第五章 级数
51级数的敛散性
52正项级数
53一般级数的绝对收敛与条件收敛
54函数项级数
55幂级数
56函数的幂级数展开及应用
附录 用多项式逼近连续函数——魏尔斯托拉斯定理
57傅里叶级数
58任意周期函数的傅里叶级数
59零测集与勒贝格积分
附录 从划分看勒贝格积分如何改进黎曼积分
第六章 多元函数的微分学
61n维欧氏空间
附录 n维欧氏空间的推广——赋范空间和拓扑空间
62多元函数的极限与连续
附录 压缩映射原理及其应用
63偏导数和全微分
64方向导数与梯度
65复合函数微分法和高阶偏导数
66多元函数的泰勒公式与极值
67隐函数存在定理及其微分法
68条件极值
69空间曲线
附录 有关空间曲线的几个公式的推导
610空间曲面和流形
第七章 多元函数的积分学
71流形上的积分
72化二重积分为累次积分
73二重积分的换元积分法
74三重积分的计算
75含参变量积分
附录 含参变量的广义积分和欧拉积分
76第一型曲线积分的计算
77第一型曲面积分的计算
78多元函数积分的应用
第八章 向量值函数的积分
81第二型曲线积分
82格林公式
83曲线积分与路径无关的条件
84全微分方程
85第二型曲面积分
86奥-高公式
87斯托克斯公式
88场论初步
89*微分形式及外微分
参考文献
2 2009年浙江大学出版社出版书籍
^图书信息
书 名: 数学分析
作 者：李胜宏
出版社： 浙江大学出版社
出版时间： 2009-8-1
ISBN: 9787308068567
开本： 16开
定价: 38.00元
^内容简介
《数学分析》是针对有初等微积分基础的大学一年级和二年级的学生编写的，既可以作为教科书使用，也可以作为研究生入学考试和高等数学竞赛的培训教材。除此之外，此书对广大数学爱好者来说，也是一本实用性很强的参考书。全书共六章，主要内容包括实数理论、数列与无穷级数、连续性、黎曼与斯蒂尔切斯积分、一致连续性和广义积分。书中每一章均配有大量的例题和有一定难度的习题。目前市面上有各种版本的数学分析教材，且数学分析的内容基本成型，因而编写一本具有特色的教材并非易事。首先遇到的问题是材料的取舍和内容的编排。《数学分析》的读者具备初等微积分的基础，使得编书时合理选材更加重要。我们从实数理论入手，选取重要的且能培养和提高读者逻辑推理能力的结构和定理作为《数学分析》的重要内容。例如数列与级数，一致收敛性和广义积分等，尽量做到所选内容是数学分析的核心问题，避免出现后继课程将要讨论的课题。与一般数学分析教材不同的是，《数学分析》可作为研究生入学考试的辅导教材和大学生高等数学竞赛的培训教材，对一般数学分析教材中的内容作了推广和加深，并精选了部分富有启发性的例题和有一定难度的习题供读者练习。独立完成部分或全部习题，是读者检验自己推理能力和提高学习效率的重要途径，通过练习，可以加深对教材主要内容的理解和掌握。
^数学分析讲义
第一章 函数
1.1 函数
1.2 四类具有特殊性质的函数
1.3 复合函数与反函数
第二章 极限
2.1 数列极限
2.2 收敛数列
2.3 函数极限
2.4 函数极限的定理
2.5 无穷大与无穷小
第三章 连续函数
3.1 连续函数
3.2 连续函数的性质
第四章 实数的连续性
4.1 实数的连续性定理
4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
第五章 导数与微分
5.1 导数
5.2 求导法则与导数公式
5.3 隐函数与参数方程求导法则
5.4 微分
5.5 高阶导数与高阶微分
第六章 微分学基本定理及其应用
6.1 中值定理
6.2 洛必达法则
6.3 泰勒公式
6.4 导数在研究函数上的应用
第七章 不定积分
7.1 不定积分
7.2 分部积分法与换元积分法
7.3 有理数的不定积分
7.4 简单无理函数与三角函数的不定积分
第八章 定积分
8.1 定积分
8.2 可积准则
8.3 定积分的性质
8.4 定积分的计算
8.5 定积分的应用
8.6 定积分的近似计算
第九章 级数
9.1 数值级数
9.2 函数级数
9.3 幂级数
9.4 傅里叶级数
第十章 多元函数微分学
10.1 多元函数
10.2 二元函数的极限与连续
10.3 多元函数的微分法
10.4 二元函数的泰勒公式
第十一章 隐函数
11.1 隐函数的存在性
11.2 函数的行列式
11.3 条件极值
11.4 隐函数的存在定理在几何方面的应用
第十二章 反常积分与含参变量的积分
12.1 无穷积分
12.2 瑕积分
12.3 含参变量的积分
第十三章 重积分
13.1 二重积分
13.2 三重积分
第十四章 曲线积分与曲面积分
14.1 曲线积分
14.2 曲面积分
14.3 场论初步
^图书目录
第一章 实数系
1.1 整数
1.2 有理数系
1.3 有理数数列
1.4 实数系
1.5 无限小数方法简介
1.6 戴德金分划简介
1.7 确界原理与实指数的乘幂
1.8 实数的完备性和紧性
1.9 实数的扩张——复数
练习
第二章 数列与级数
2.1 数列的极限
2.2 斯铎兹定理及应用
2.3 上、下极限
2.4 实数级数
2.5 无穷乘积
2.6 典型例子
练习二
第三章 连续性
3.1 函数的极限和连续
3.2 拓扑学初步
3.3 连续函数的性质
3.4 间断点
3.5 半连续和有界变差函数
3.6 p进制
练习三
第四章 微分与积分
4.1 微分与中值定理
4.2 洛必达法则与泰勒公式
4.3 典型例题选讲
4.4 黎曼一斯蒂尔切斯积分
4.5 不等式
4.6 凸函数
4.7 数e和7c
4.8 多元函数
练习四
第五章 一致收敛性
5.1 函数序列的一致收敛性
5.2 收敛序列的性质
5.3 函数项级数及收敛性
5.4 多项式逼近
5.5 幂级数
5.6 傅里叶级数
5.7 等度连续性
练习五
第六章 广义积分
6.1 无限区间上的积分
6.2 收敛性判别准则
6.3 瑕积分
6.4 广义积分与级数
6.5 有限区间上含参量积分
6.6 含参变量的广义积分
6.7 一致收敛积分的性质
6.8 欧拉积分
练习六
参考书目
3 高等教育出版社出版书籍
该书包含上、下两册。
作 者：陈纪修，於崇华，金路 编
出 版 社：高等教育出版社
出版时间：2004-10-1
版次：2 页数：493字数：600000 印刷时间：2008-4-1 开本：16开 纸张：胶版纸
印次：7 ISBN：9787040155495 包装：平装
本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”。教育部“理科基础人才培养基地创建优秀名牌课程数学分析”项目和高等教育出版社“高等教育百门精品课程教材建设计划”精品项目的成果，是面向21世纪课程教材。本书以复旦大学数学系近20年中陆续出版的《数学分析》为基础，为适应数学教学面向21世纪进行改革的需要而编写的。作者结合了多年来教学实践的经验体会，从体系、内容、观点、方法和处理上，对教材作了有益的改革。
本书分上、下两册出版。
下册内容包括：数项级数。函数项级数、Euclid空间上的极限和连续、多元函数的微分学、重积分、曲线积分、曲面积分与场论、含参变量积分、Fourier级数八章。
本书可以作为高等学校数学专业数学分析课程的教科书，也可供其他有关专业选用。
4 复旦大学出版社出版书籍
^书籍信息
书名:数学分析(上下册)--面向21世纪课程教材
ISBN:703017835
作者:吕冠国//邵南//谷天慧//王涛//董义琳等
出版社:复旦大学出版社
定价:38
页数:0
出版日期:2006-8-1
版次: 1
开本:16开
包装:平装
^简介:
本书是作者在20世纪90年代初编写的同名教材的基础上，结合教学实践，进行了更为全面的探索和改革，经过了大量的教学研究，并参阅了国内外最新出版的教材后编写的．全书体系结构的安排充分考虑了教学效果的需要，而且增加了现代数学分析的一些方法和内容．为了帮助读者深入理解有关的概念和方法，行文中不时穿插了许多启发读者思考的练习，每章后还附有精选的习题．为了方便读者使用本书，在书末提供了较为详细的习题解答．本书主要内容是极限理论、实数系基本理论、一元微积分学、级数论、多元微积分学、曲线曲面积分、含参变量积分以及Lebesgue积分初步等．
本书适用于数学、统计学、计算机科学、管理科学等专业学生作为数学分析课程的教材，可以作为相应专业学生报考研究生的辅导书或参考书，也可以作为其他科技人员自学数学分析的读本．
^目录:
目 录
第一章 集合
1．1 集合
1．2 数集及其确界
第二章 数列极限
2．1 数列极限
2．2 数列极限（续）
2．3 单调数列的极限
2．4 子列
第三章 映射与实函数
3．1 映射
3．2 一元实函数
3．3 函数的几何特性
第四章 函数极限和连续性
4．1 函数极限
4．2 函数极限的性质
4．3 无穷小量、无穷大量和有界量
第五章 连续函数和单调函数
5．1 区间上的连续函数
5．2 区间上连续函数的基本性质
5．3 单调函数的性质
第六章 导数和微分
6．1 导数概念
6．2 求导法则
6．3 高阶导数和其他求导法则
6．4 微分
第七章 微分学基本定理及应用
7．1 微分中值定理
7．2 Taylor展开式及应用
7．3 L''Hospital法则及应用
第八章 导数的应用
8．1 判别函数的单调性
8．2 寻求极值和最值
8．3 函数的凸性
8．4 函数作图
8．5 向量值函数
第九章 积分
9．1 不定积分
9．2 不定积分的换元法和分部积分法
9．3 定积分
9．4 可积函数类R[a，b]
9．5 定积分性质
9．6 广义积分
9．7 定积分与广义积分的计算
9．8 若干初等可积函数类
第十章 定积分的应用
10．1 平面图形的面积
10．2 曲线的弧长
10．3 旋转体的体积和侧面积
10．4 物理应用
10．5 近似求积
第十一章 极限论及实数理论的补充
11．1 Cauchy收敛准则及迭代法
11．2 上极限和下极限
11．3 实数系基本定理
第十二章 级数的一般理论
12．1 级数的敛散性
12．2 绝对收敛的判别法
12．3 收敛级数的性质
12．4 Abel-Dirichlet判别法
12．5 无穷乘积
第十三章 广义积分的敛散性
13．1 广又积分的绝对收敛性判别法
13．2 广义积分的Abel-Dirichlet判别法
第十四章 函数项级数及幂级数
14．1 一致收敛性
14．2 一致收敛性的判别
14．3 一致收敛级数的性质
14．4 幂级数
14．5 函数的幂级数展开
第十五章 Fourier级数
15．1 Fourier级数
15．2 Fourier级数的收敛性
15．3 Fourier级数的性质
15．4 用分项式逼近连续函数
第十六章 Euclid空间上的点集拓扑
16．1 Euclid空间上点集拓扑的基本概念
16．2 Euclid空间上点集拓扑的基本定理
第十七章 Euclid空间上映射的极限和连续
17．1 多元函数的极限和连续
17．2 Euclid空间上的映射
17．3 连续映射
第十八章 偏导数
18．1 偏导数和全微分
18．2 链式法则
第十九章 隐函数存在定理和隐函数求导法
19．1 隐函数的求导法
19．2 隐函数存在定理
第二十章 偏导数的应用
20．1 偏导数在几何上的应用
20．2 方向导数和梯度
20．3 Taylor公式
20．4 极值
20．5 Logrange乘子法
20．6 向量值函数的全导数
第二十一章 重积分
21．1 矩形上的二重积分
21．2 有界集上的二重积分
21．3 二重积分的变量代换及曲面的面积
21．4 三重积分、n重积分的例子
第二十二章 广义重积分
22．1 无界集上的广义重积分
22．2 无界函数的重积分
第二十三章 曲线积分
23．1 第一类曲线积分
23．2 第二类曲线积分
23．3 Green公式
23．4 Green定理
第二十四章 曲面积分
24．1 第一类曲面积分
24．2 第二类曲面积分
24．3 Gauss公式
24．4 Stokes公式
24．5 场论初步
第二十五章 含参变量的积分
25．1 含参变量的常义积分
25，2 含参变量的广义积分
25．3 B函数和 函数
第二十六章 Lebesgue积分
26．1 可测函数
26．2 若干预备定理
26．3 Lebesgue积分
26．4（L）积分存在的充分必要条件
26．5 三大极限定理
26．6 可测集及其测度
26．7 Fubini定理
练习及习题解答
