三正弦定理

定理概述

定理证明

定理应用

定理概述

设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinαsinβ（如图）

该定理从老版高中教材人教版《数学》必修第二册（下A），P35的例1：“河堤斜面与水平面所成的二面角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤脚水平线AB的夹角为30，沿这条直道从堤脚向上行走10m时人升高了多少？”抽象出来的一般结论．

定理证明

如上图，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直线OB⊥二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．

于是，sinγ=CO︰AC，sinα=sin∠CBO=CO︰BC，

sinβ=sin∠BAC=BC︰AC．

由此容易推得sinγ=sinαsinβ

定理应用

如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！

例1　如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)例2　已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)