平面极坐标系_在线百科全书查询
平面极坐标系
极坐标系的概念
坐标系的一种。极坐标系在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。
在平面上取一定点o，称为极点，由o出发的一条射线ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。对于平面上任意一点p，用ρ表示线段op的长度，称为点p的极径或矢径，从ox到op的角度θε[0，2π]，称为点p的极角或辐角，有序数对(ρ，θ)称为点p的极坐标。极点的极径为零，极角不定。除极点外，点和它的极坐标成一一对应。
直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:
ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点: θ=θ0，θ=π－θ0 ;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴: ρcosθ= α ;
(3)直线过M(b,π)且平行于极轴: ρsin θ=b
圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,半径为r: ρ=r ;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a: ρ=2acos θ ;
(3)当圆心位于M(a, π/2 ),半径为a: ρ=2asin θ .
常见曲线的参数方程
(1)经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为
x=x0+tcosα,y=y0+tsinα (t为参数).
设P是直线上的任一点,则t表示有向线段P0P的数量.
(2)圆的参数方程为x=rcosθ,y=rsinθ
(θ为参数).
圆锥曲线的参数方程
椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的参数方程
为 x=acosθ,y=bsinθ (θ为参数 ) .
双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2=1 (a>0,b>0)的参数方程
为 x= asecθ ,y=tanθ (θ为参数).
抛物线y2=2px的参数方程为 x=2pt^2,y=2pt (t为参数).
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
x=ρcosθ,y=ρsinθ
ρ^2=x^2+y^2, tanθ=y/x (x≠0)
