平面极坐标_在线百科全书查询
平面极坐标
定义
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用 r表示线段OM的长度， θ表示从Ox到OM的角度，r 叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 ( r,θ )就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。在极坐标系中表示点
正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标)和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。 比如，极坐标中的(3,60)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60的点。(−3,240) 和(3,60)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240 − 180 = 60)。 极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点(r, θ)可以任意表示为(r, θ n×360)或(−r, θ (2n + 1)180)，这里n是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。 使用弧度单位
使用弧度单位 极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。
极坐标系 在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
在极坐标系与平面直角坐标系间转换 极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标 r = sqrt(x^2 + y^2), θ= arctan y/x 在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90 (π/2 radians); 若 y 为负, 则 θ = 270 (3π/2 radians).
极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示 r 为自变量 θ 的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ) = r(θ)，则曲线关于极点(0/180)对称，如果r(π-θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90/270)对称，如果r(θ−α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α。
发展史
第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，略如我们现在的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了直角价值到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把 ,cos ,sin 当作变量来使用，而且用z，n和m来表示 ,cos 和sin 。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。
应用
有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。
典型图像模型例举与解析
圆心原点的时候：
圆与坐标轴相切的时候：
