皮卡定理

皮卡定理可以指两个不同的数学定理，它们都是关于解析函数的值域。

皮卡小定理说明，如果函数f(z)是整函数且不是常数，则f(z)的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。

这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理：任何不是常数的整函数都一定是无界的。

函数exp(1/z)，在z=0处具有本性奇点。z的色相表示它的辐角，而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时，可以取得任何非零的值。

皮卡大定理说明，如果f(z)在点w具有本性奇点，那么在任何含有w的开集中，对任意非∞的复数值A，有无穷多个z使得f(z)=A，A最多只有一个例外。 以上定理是说，全纯函数在本性奇点的任意邻域内，“无穷多次”地取到每一个有限的复值，至多有一个例外值。 这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理，它只保证了f的值域在复平面内是稠密的。

这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的：指数函数ez是一个整函数，永远不能是零。e1/z在0处具有本性奇点，但仍然不能取得零。

皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的，可以应用于亚纯函数：如果M是一个黎曼曲面，w 是M上的一个点，P1C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \\ {w} → P1C是一个全纯函数，在w处具有本性奇点，那么在M的任何含有w的开子集中，函数f都可以取得除了两个点以外的所有P1C的点。

例如，亚纯函数f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0处具有本性奇点，在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞；但它无法取得0或1的值。

皮卡小定理可以从皮卡大定理推出，因为整函数要么是多项式，要么在无穷远处具有本性奇点。