欧拉图_在线百科全书查询

欧拉图

在多重连通图G中，若存在一个圈吗，过G每边一次且仅有一次，则称G为欧拉图（欧拉圈）

图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。在当时的哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥连结起来，见图（1）。当时那里的居民热衷于一个难题：有游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。

为了解决这个问题，欧拉用A,B,C,D4个字母代替陆地，作为4个顶点，将联结两块陆地的桥用相应的线段表示，如图（2），于是哥尼斯堡七桥问题就变成了图（2）中，是否存在经过每条边一次且仅一次，经过所有的顶点的回路问题了。欧拉在论文中指出，这样的回路是不存在的。图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次，则称该回路为欧拉回路。存在欧拉回路的图就是欧拉图。

只存在欧拉通路的图不能叫做欧拉图，可以叫做欧拉半图。

欧拉图是普通逻辑学中的重点之一，图论的一部分，可以直观的表示概念间的关系，刑事侦查逻辑里有实际用途。

关于欧拉图的定理

1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；

2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；

3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且D中每个结点的入度=出度

4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=1。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）