梅涅劳斯定理_在线百科全书查询
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
定理的证明
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，
则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三
过ABC三点向三边引垂线AA''BB''CC''，
所以AD：DB=AA''：BB''，BE：EC=BB''：CC''，CF：FA=CC''：AA''
所以(AF/FC)×(BD/DA)×(CE/EB)=1
证明四
连接BF。
（AD：DB）（BE：EC）（CF:FA)
=（S△ADF：S△BDF）（S△BEF：S△CEF）（S△BCF：S△BAF）
=（S△ADF：S△BDF）（S△BDF：S△CDF）（S△CDF：S△ADF）
=1
此外，用该定理可使其容易理解和记忆：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
记忆
ABC为三个顶点，DEF为三个分点
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
或者按比值画实心与空心圆。
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。
另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案：
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。
数学意义
使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。
