曼德勃罗集合

定义

计算的方法

曼德布洛特集合（Mandelbrot set）是在复平面上组成分形的点的集合。

定义

曼德布洛特集合可以用复二次多项式

来定义 其中c是一个复参数。对于每一个c，从开始对fc(z)进行迭代。

序列 的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内。

曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。

从数学上来讲，曼德布洛特集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于曼德布洛特集合M，或者不是。

计算的方法

曼德布洛特集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德布洛特集合的计算思路。

For Each z0 in Complex repeats = 0 z=z0 Do z=z^2+z0 repeate = repeats+1 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats If repeats >= MaxRepeats Then Draw z0,Black Else Draw z0,f(z,z0,Repeats) ''f返回颜色 End IfNextf函数的一些例子直接利用循环终止时的Repeats 综合利用z和Repeats Orbit Traps也可以用Mathematica制作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False]