两面角_在线百科全书查询
两面角
二面角：从一条直线出发的两个半平面叫做二面角。
定义
二面角
从一条直线出发的两个半平面叫做二面角。
相关概念
半平面：一个平面里的一条直线，把平面分成两部分，每一部分叫半平面。
棱：二面角的那条直线
面：其中的任意半平面。
记法
设两面为a,b棱为l，则二面角记为a-l-b；
设两面里各有一点A,B棱为CD，则二面角也可记为A-CD-B。
求法
一般求法
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面力分别作垂直与棱的射线，这两条射线所成的角叫做二棉角的平面角。即：设两面为a,b，棱为l,则所成的角y=∠AOB
其中A ∈a,AO⊥l,BO⊥l,O∈l,B∈b。
法向量法
设平面a,b的法向量为m,n且一个向上一个向下，则
a-l-b=<m,n>
cos(a-l-b)=cos<m,n>
cos(a-l-b)=|m*n|/|n||m|
平行向量法
有直线a,b分别平行于面γ,δ，且都垂直于棱l，设其方向向量为c,d，则二面角γ-l-δ等于
γ-l-δ=<c,d>
cos(γ-l-δ)=|c*d|/|c||d|
方程方法
设两平面a,b方程分别为ax+by+cz+d=0和a1x+b1y+c1z+d1=0
则其二面角的余弦值为(a*a1+b*b1+c*c1)/(a^2+b^2+c^2)^1/2(a1 ^2+b1 ^2+c1 ^2)^1/2。
两平面垂直
定义
如果两平面相交的二面角是直角，那么这两个平面垂直。
符号表示：a∩b=l,m⊂a,m⊥l,n⊥l,n⊂b,n⊥m->a⊥b
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示： l⊂a,l⊥b-->a⊥b
证明：设a∩b=m,l∩m=O
∵l⊥b,m⊂b
∴l⊥m
在b里过O作n⊥m.
∵l⊥b,n⊂b
∴l⊥n
又n⊥m，
∴a⊥b
垂直于同一平面的相交平面垂直。
符号表示：a⊥y,b⊥y,a∩b=l-->a⊥b
证明：设y∩b=m,a∩y=n
根据定义得l⊥m,l⊥n
又a∩b=l,m⊂a,n⊂b
∴a⊥b
性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：a⊥b,a∩b=l,m⊥l,m⊂a-->m⊥b
证明：设l∩m=O
在b内，过过O作n⊥m：
根据两平面垂直的定义得n⊥l。
∵n⊂b,m⊂b,n⊥l
∴n∩l=M.
∵n⊂b,l⊂b,n∩l=M,m⊥l,n⊥m
∴m⊥b
两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面。
符号表示：a⊥y,b⊥y,a∩b=l-->l⊥y
证明：设a∩y=n,b∩y=m
根据定理得a⊥b,
根据定义得l⊥n,l⊥m,n⊥m，
∵n⊂y,m⊂y,n⊥l
∴n∩l=M.
∵n⊂y,m⊂y,n∩l=M,m⊥l,n⊥l
∴l⊥y
