卡瓦列里原理

主要内容

相关解释(证明 说明)

由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri，Bonaventura)的名字命名

主要内容

如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且为任何平行于这两条平行线的直线所截时截得的线段都相等，那么这两个图形的面积相等；如果每条直线(平行于上述两条平行线的)为两个图形所截得的线段的长度都有相同的比，则两个图形的面积也成相同的比．

相关解释

类似地，在空间，如果两个立体图形夹在两个平行平面之间，并且为任何平行于这两个平行平面的平面所截时截得的平面片的面积都相等，那么这两个立体图形的体积相等；如果截两个立体所得的两组截面中，每个给定平面所截得的两个不同组的截面的面积都有相同的比例，则这两个立体的体积也成相同的比．

从现代分析学的观点看，这个原理所断定的实际上是：如果被积函数相等，而且积分限也相等，那么这两个积分相等；被积函数中的常数作为一个因子可以提到积分号外面而不改变积分的值．

这一原理在西方是由卡瓦列里提出的，此后在数学中得到相当广泛的应用．西方便称之为卡瓦列里原理．在中国古代，三国时的刘徽和南北朝时的祖冲之父子曾考虑过相同的原理，公元5—6世纪的祖暅明确指出：“缘幂势既同，则积不容异．”其中幂指面积，势指关系，积指体积．这句话的意思是“若两立体的截面面积之间的关系处处相等，则两立体的体积之间也必有同样的关系”．显然，这一原理包含卡瓦列里原理的基本内容，我们称之为“祖暅原理”或“刘祖原理”．

证明

卡瓦列里采用多种方法来证明这一原理，这些证明都收入他的《几何学》第7卷．其中的一个证明如下：

设夹在两平行线PQ，RS之间的两个任意平面图形ABC和XYZ如图1所示，DN和OU是平行于PQ，RS的直线，且它们在两图形上的截线相等．即在DN上，JK=LM，在OU上，EF+GH=TV；进而在任何与PQ等距的直线上，在ABC和XYZ中截得的线段都相等．下面证明ABC和XYZ的面积相等．任取两图形之一，不妨取ABC，顺平行线PQ，RS平移到另一个图形XYZ上．这时，或者ABC与XYZ重合，因而它们的面积相等，则原理已证；或者它们只有部分重合，如图中的XMC′YThL．

现考察平移后两图形不完全重合的情况．由于平移保持一直线在两图形上的截线的共线关系，并且它们在平移前是相等的，平移后，它们仍然相等，例如E′F′+TH′=TV．因而，如果E′F′+TH′不完全与TV重合，则它们的一部分重合，如TH′与TH′重合，于是E′F′=H′V，E′F′是平移后ABC的未盖住XYZ的部分，H′V是平移后未被ABC覆盖的XYZ的部分．同理可证，对每条平行于PQ的直线在两个图形上的截线，其未重合的部分(如果有的话)都是相等的．即这一平移有如下性质：若平移的图形有一部分未覆盖在另一图形上，那么后者也一定有一部分未彼覆盖；而且，在平移之后，两图形的未重合部分仍满足原理的条件．

现在作第二次平移：平移ABC未重合的部分，使得KL，CY落在LN，YS上，则又有VB″Z重合．如前证可知，二次平移后一个图形的仍未重合部分一定对应着另一图形的仍然未重合的部分；它们仍满足原理的条件，可以再顺RS，DN平移，又有新的重合部分和未重合部分，这一过程可以一直进行下去，一直进行到ABC与XYZ完全重合．否则，如某一图形有一部分未与另一图形重合，则另一图形也必有未重合的部分剩下．如果ABC与XYZ重合，则它们的面积相等．对立体的情况可仿此证明．

说明

这一证明是巧妙而直观的．但也有一些弱点：没有证明按所采用的操作方法，两个图形未重合的部分一定是可穷竭的；也没有证明每次平移后图形的未重合部分一定小于原来的图形．而且，卡瓦列里在答复P．古尔丁(Guldin)的反对意见时声称，在一个图形中(从而在另一个图形中)“消除”未重合部分的工作可以用无穷步运算完成．

卡瓦列里的另一个证明是用古典的穷竭法作出的．对满足一定条件的图形(如两图形都是“广义的平行四边形”或能分解为这种四边形的图形)来说，这一证明是严格的．