卡迈克猜想

众所周知，费尔马小定理的逆定理是不成立的，1819年，法国数学家沙路斯首先发现，虽然341整除2^340-1,但是341=11*31，却是合数。像这样的数称为伪素数，已经证明伪素数有无穷多个。（费尔马小定理是：如果p是素数，a只一个正整数，那么p整除a^p-1)

人们自然会想到，如果n能够整除一切形如a^(n-1)-1（a与n互素）的数，则n总该是素数了吧？结果并不如此简单，竟然有这样的数n,它能整除所有的a^(n-1)-1（a与n互素）。这种极端的伪素数就称为卡迈克数，因为美国数学家卡迈克首先研究了这种极端伪素数，他发现561能整除一切a^(n-1)-1（a与n互素）的数，但是561=3*11*17，卡迈克还得出了一个判定卡迈克数的定则：

（1）n不包含平方因数

（2) n是奇数，至少含有三个不同的素因数

（3）对于n的每一个素因数，n-1能被p-1整除

例如，8911=7*19*67，显然满足条件（1）、（2），7-1=6、19-1=18、67-1=66都能整除8911-1=8910，即满足条件（3），故8911是卡迈克数。

不超过100000的16个卡迈克数如下：

561，1105，1729，2465，2821，6601，8911，10585，15841，29341，41041，46657，52633，62745，63973，75361。

一直困惑人们的问题是：

（1）如前述，以a为底的伪素数有无穷多，但同时以两个不同正整数a,b为底的伪素数是否也有无穷多？尚不知晓，甚至连a=2,b=3的特殊情形也没有解决。

（2）卡迈克数是否有无穷多个？

这就是有关卡迈克数的猜想。