加法单位元

基本例子

形式定义

更多例子

证明(加法单位元在一个群里是唯一的 加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的)

在数学里，一个具有加法运算的集合中的加法单位元，是指不论它加上任何一个在此集合内的元素x都会等于x的元素。

基本例子

初等数学中所熟悉的加法单位元为0。如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5.在自然数N和其所有的父集(整数Z、有理数Q、实数R、复数C)内，其加法单位元皆为0。所以对于任何一个数n，n + 0 = n = 0 + n.

形式定义

令N是一个在加法运算下封闭的集合。N的加法单位元即为任一个能使所有在N内的元素n有下列公式的元素e：

e + n = n = n + e.

更多例子

在一个群里，加法单位元即是这个群的单位元，通常标记做0，并且是唯一的(见下面证明)。一个环或一个体也会是一个在加法运算下的群，因此它们也会有一个唯一的加法单位元0。它被定义必须和乘法单位元1不同，若环(或体)有两个以上的元素时。如果加法单位元和乘法单位元是同一个的话，这个环则会是当然的(见下面证明)。在一个于群G上的m乘n阶矩阵所组成的群Mm×n(G)里，其加法单位元标记为0，且会是个其元素都是在G内的单位元0的m乘n矩阵。例如，在一个于整数上的2阶方阵M2(Z)里，其加法单位元为.

证明

加法单位元在一个群里是唯一的

令(G,+)是一个群，且设0和0''是在G内的两个加法单位元，则对于所有在G内的g而言，

0 + g = g = g + 0 且 0'' + g = g = g + 0''.由上可得

0 + (0'') = (0'') = (0'') + 0 及 0'' + (0) = (0) = (0) + 0''故可证明 0 = 0''。

加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的

令R是一个环，且假设加法单位元0和乘法单位元1会相等，即0=1。设r为于R内的任一元素，则

r = r × 1 = r × 0 = 0其表示R必须是平凡的，亦即R={0}。再依照换质位法，即可得出若R不是平凡的，则0不会等于1的结论。