机率密度函数

名称含义

定义

应用

特征函数

名称含义

机率密度函数（PDF），在数学中，机率密度函数在积分中代表一个分布概率。在一个柱状图中机率密度函数能被翻译成是一个“使平滑”：如果一个人以经验重复地测量连续随机变量的值和用一个柱状图描述输出范围的相近频率，这时这个柱状图将和机率密度函数相似。

一种数学模型，它描述随时间发生事件的概率。对此函数进行积分，可获得事件发生时间落在给定间隔内的概率。在寿命数据分析中，所考虑的事件为失效，Pdf 是其他重要可靠性函数的基础，这些函数包括可靠性函数、失效率函数和平均寿命。

机率密度函数（p.d.f.，probability density function）描述了随机变量的概率分布，为累积分布函数的导函数。

定义

对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数<math>f_X (x)</math>都可以被定义为其概率密度函数：

<math>f_ (x)\\ge 0, -\\infty <x< \\infty</math>

<math>\\int_{-\\infty}^{\\infty} f_ (x)\\,dx = 1</math>

随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示： <math>P[a< X\\le b]=\\int_^ f_X (x)\\,dx</math>

而<math>F(x)=P[X<x]=\\int_{-\\infty}^f_(\\xi)d\\xi</math>是X的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。

应用

由机率密度函数可以求出期望值、变异数等矩量。

期望值（一阶矩）：

E[X]=<math>\\int_{-\\infty}^{\\infty} xf(x)\\,dx </math>

变异数（二阶矩）：

VAR[X]=<math>\\int_{-\\infty}^{\\infty} (x-E[X])^2f(x)\\,dx </math>

特征函数

对机率密度函数作傅利叶转换可得特征函数。

<math>\\Phi_X(j\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x)e^{j\\omega x}\\,dx </math>

特征函数与机率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就等同於知道一个分布的机率密度函数。da:Sandsynlighedst&aelig;thedsfunktion en:Probability density function it:Funzione di densità di probabilità nl:Kansdichtheid sv:T&auml;thetsfunktion