海森堡绘景_在线百科全书查询
海森堡绘景
介绍
海森堡绘景是量子力学的一种表述。这表述的算符（可观察量和其它算符）相依于时间，而量子态则不相依于时间。海森堡绘景与薛定谔绘景有很明显的差异。薛定谔绘景表述的算符是常数，而量子态则随着时间演化。虽然有这些差异，两种绘景只是不同于依赖时间的基底的改变。两种绘景的测量统计结果完全相同。这是必然的。因为，它们都是在表达同样的物理现象。
海森堡绘景是矩阵力学在一个任意基底的表述。其哈密顿量不一定是对角的。
数学细节
在量子力学里，海森堡绘景表述的量子态 |\\psi \\rang \\,\\! 不相依于时间，可观察量 A\\,\\! 满足海森堡方程：
\\frac{d}{dt}A={i \\over \\hbar}[H,\\,A]+\\left(\\frac{\\partial A}{\\partial t}\\right)_\\mathrm{classical}\\,\\! ；
其中，\\hbar\\,\\! 是约化普朗克常数，H\\,\\! 是哈密顿量，[H,\\,A]\\,\\! 是 H\\,\\! 与 A\\,\\! 的对易算符。在有些方面，我们感觉海森堡绘景会比薛定谔绘景更自然，更具有基础性。特别是在表述相对论的时候，海森堡绘景显然的表露出洛伦兹不变性。
更加地，海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到：将对易算符改为泊松括号，海森堡方程立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程。
史东-冯诺伊曼理论 (Stone-von Neumann theorem) 证明海森堡绘景与薛定谔绘景是等价的。
导引海森堡方程
设定可观察量 A\\,\\! （一个厄米算符）。处于时间 t\\,\\! 的量子态 |\\psi(t)\\rang \\,\\! ，其可观察量 A\\,\\! 的期望值是
\\lang A \\rang _{t} = \\lang \\psi (t) | A | \\psi(t) \\rang \\,\\! 。
根据薛定谔绘景，
| \\psi (t) \\rang = e^{ - iHt / \\hbar} | \\psi (0) \\rang \\,\\! 。
那么，
\\lang A \\rang _{t} = \\lang \\psi (0) | e^{iHt / \\hbar} A e^{ - iHt / \\hbar} | \\psi(0) \\rang\\,\\! 。
定义相依于时间的算符 A(t)\\,\\! ，
A(t) := e^{iHt / \\hbar} A e^{ - iHt / \\hbar}\\,\\! 。
A(t)\\,\\! 随时间的导数是
\\begin{align} {d \\over dt} A(t) & = {i \\over \\hbar} H e^{iHt / \\hbar} A e^{ - iHt / \\hbar} + \\left(\\frac{\\partial A}{\\partial t}\\right)_\\mathrm{classical} + {i \\over \\hbar}e^{iHt / \\hbar} A \\cdot ( - H) e^{ - iHt / \\hbar} \\\\ & = {i \\over \\hbar } e^{iHt / \\hbar} \\left( H A - A H \\right) e^{-iHt / \\hbar} + \\left(\\frac{\\partial A}{\\partial t}\\right)_\\mathrm{classical} \\\\ & = {i \\over \\hbar } \\left( H A(t) - A(t) H \\right) + \\left(\\frac{\\partial A}{\\partial t}\\right)_\\mathrm{classical} \\\\ \\end{align}\\,\\!。
所以，
{d \\over dt} A(t) = {i \\over \\hbar } [ H , A(t) ] + \\left(\\frac{\\partial A}{\\partial t}\\right)_\\mathrm{classical}\\,\\! 。
应用算符恒等式：
{e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \\frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \\frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\\cdots \\,\\! 。
对于不相依于时间的 A\\,\\! ，我们得到
A(t)=A+\\frac{it}{\\hbar}[H,A] - \\frac{t^{2}}{2!\\hbar^{2}}[H,[H,A]] - \\frac{it^3}{3!\\hbar^3}[H,[H,[H,A]]] + \\cdots\\,\\! 。
由于泊松括号与对易算符的关系，在哈密顿力学里，这方程也成立。
对易关系
很明显地，由于算符的相依于时间，对易关系在海森堡绘景里跟在薛定谔绘景里有很大的差异。例如，思考算符 x(t_{1}),\\, x(t_{2}),\\, p(t_{1})\\,\\! 与 p(t_{2})\\,\\! 。这些算符随时间的演化，相依于系统的哈密顿量。一维谐振子的哈密顿量是
H=\\frac{p^{2}(t)}{2m}+\\frac{m\\omega^{2}x^{2}(t)}{2}\\,\\! 。
位置算符和动量算符的演化方程分别为
{d \\over dt} x(t)={i \\over \\hbar } [H,x(t)]=\\frac {p(t)}{m}\\,\\! ，
{d \\over dt} p(t)={i \\over \\hbar } [H,p(t)]= - m \\omega^{2} x(t)\\,\\! 。
再求这两个方程随时间的导数，
{d^2 \\over dt^2} x(t) = {i \\over \\hbar } [H,p(t)]= - \\omega^{2} x(t)\\,\\! ，
{d^2 \\over dt^2} p(t) = {i \\over \\hbar } [H,x(t)]= - \\omega^{2} p(t)\\,\\! 。
设定初始条件为
\\dot{p}(0)= - m\\omega^{2} x_0\\,\\! ，
\\dot{x}(0)=\\frac{p_0}{m}\\,\\! 。
二次微分方程的解答分别是：
x(t)=x_{0}\\cos(\\omega t)+\\frac{p_{0}}{ m\\omega}\\sin(\\omega t) \\,\\! ，
p(t)=p_{0}\\cos(\\omega t) - m\\omega\\!x_{0}\\sin(\\omega t) \\,\\! 。
稍加运算，可以得到海森堡绘景里的对易关系：
[x(t_{1}), x(t_{2})]=\\frac{i\\hbar}{m\\omega}\\sin(\\omega t_{2} - \\omega t_{1}) \\,\\! ，
[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\\hbar m\\omega\\sin(\\omega t_{2} - \\omega t_{1}) \\,\\! ，
[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\\hbar \\cos(\\omega t_{2} - \\omega t_{1}) \\,\\! 。
请注意，假若 t_{1}=t_{2}\\,\\! ，我们立刻会得到熟悉的正则对易关系。
