海涅定理

Heine定理

简介

lim[x->a]f(x)=b存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列，且lim[n->∞]an = a，an不等于a，有lim[n->∞]f(an)=b。

海涅定理表明了函数极限与数列极限的关系。如果极限lim[x→x0]f(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xn≠x0（n∈N+），那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且lim[n→∞]f(xn)=lim[x→x0]f(x).

作用

海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。 海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.