哈密顿算符

一、简介

二、算法

一、简介

量子力学中，哈密顿算符(Hamiltonian) H为一个可观测量(observable)，对应于系统的的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可能结果的集合。如同其他自伴算符(self-adjoint operator)，哈密顿算符的谱可以透过谱测度(spectral measure)被分解，成为纯点(pure point)、绝对连续(absolutely continuous)、奇点(singular)三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者又对应到系统的束缚态(bound states)；绝对连续谱则对应到自由态(free states)；奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限势阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。哈密顿算符“▽”因其形象为一倒置的三角形，又称为倒三角算符，或哈密顿算子。

二、算法

哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若为在时间 t 的系统状态，其中为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。（其与哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因为此，H 冠有哈密顿之名。）若给定系统在某一初始时间（t = 0）的状态，我们可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若 H 与时间无关。

首先，“▽”这个东西具有“双重性格”，它既是一个矢量，又是一个微分算子（求导运算），所以哈密顿算符兼具矢量和微分的性质。按照定义；

eg：（图2）

其中x0，y0，z0分别为x，y，z坐标轴的单位矢量。

（图3）表示D的散度（也记为divD），Dx，Dy，Dz分别为D在x，y，z坐标轴上的分量。▽×H表示H的旋度（也可记为rotH或curlH）。

eg:（图4）

但仅仅了解到这一地步，对我们以后简化计算没有任何帮助，当什么时候它的优势就能表现出来呢？那就是▽后的函数不再是一个简单的 f 的时候，比如说，是两个标量函数的乘积 fg，那这时就可以使用▽的微分运算性质了，以梯度运算为例，因为我们不知道grad的运算法则，所以直接做grad ( fg )是不方便的，但将其表示为▽( fg )后，我们利用▽的微分运算性质，就可以很容易的得到▽( fg )=g ▽f + f ▽g ，相当于

图5

矢量运算性质的应用很好理解，这里不再赘述。知道了它的这些特性后，我们就会发现，场论书籍中给出的所有关于▽的运算公式，都有着与微分运算相似的形式，综合这两个特性，我们就很容易记忆这些公式了。实际上，对每一个公式我们都可以从定义出发给出严格的证明，但每次都回归定义是不利于我们使用好▽的特性的，反而使运算复杂化，这也就与我们引入▽算子的初衷相违了。

eg：（图6）

再考虑到▽为微分算符，F应在它后面，因此后项改写为图7

故得图8