鬼谷子问徒

本题为广为流传的一经典逻辑推理题目，原题如下：

孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：

他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；

庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

请问这两个数字是什么？为什么？

题目解答分析：

1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。

(A)庞涓手上的数字是5-197之间的数字。

(B)庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则就不会有确信。这可以分解为两点：

庞涓手上不是偶数，只可能是奇数，因为任意大于4偶数能被拆成两个奇质数之和，这是由歌德巴赫猜想来保证；

并且庞涓手上的奇数不是2+质数。举例：如果庞涓手上是28，可以拆成11+17，当孙膑拿到了181这个积，

马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17，与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾，因此将所有偶数排除。

举例：当庞涓手上的数为质数+2时，例如21，而正好是19+2，那样孙膑手上的数是38，只有一种分解方法2*19，

因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字。

(C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数。因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积，

这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积，否则就要大于99了。另外97是质数，

同理应该排除97+2到97+98的所有奇数。最后剩下的是99+98的奇数，因为都是最大的数，

孙膑本来就可以推理出来，与孙膑本来不知道的前提相矛盾，自然排除了。

因此由此可以排除超过53以上的所有奇数。举例：如果庞涓手上的数字是59，那有一种可能是53+6，

当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6，因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字，

因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾。同理可以推理到195=97+98这中间的所有奇数都被排除，因为97是质数。

因此，当庞涓手上是53以上的奇数不会有这种把握孙膑肯定不知道这两个数。

(D)满足以上条件的这样的数字仅有10个：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。

2、孙膑知道自己手中的积，并说本来不知道，但现在知道了。意味着，

孙膑看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和，只可能是上述10个数中的一个。

也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积。

从这句话可以得出能够相乘等于孙膑手上积的数里面，有且仅有一对是一奇一偶，别的都是两偶。所以由这个推论可以得出这个奇数肯定是个质数。而这个偶数肯定是只能被2整除（也就是说它是2的N次方）。也就是说鬼谷子选的两个数(假设是a,b，不分顺序)会满足 ：a是个质数 ， b是2的N次方（N是大于1的整数）。

这种积有许多种，关键是庞涓的第三句话。

3、庞涓是知道自己手中的和数，当孙膑说了这句话的时候，庞涓说也知道这两个数字了，

那庞涓手上的和数有一个特点，就是除一个例外的可能积，其他可能的积都无法满足前面所言，

否则庞涓没有这种自信。也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数可以满足前面的条件。

这时需要结合第二个条件，怎么利用这个条件呢？以17做为例子：

假设分解为3+14，那么积为42，而42=3*14=2*21=6*7，对应的和有17,23,13

而当中的17和23均为候选解，也就是说假如孙膑手上的数是42，他就无法知道正确的分解，

所以17不能分解为3+14。类似地可以构造以下这个可以满足第二条件的分解列表：

11的可能的分解：(4,7),(3,8),

17的可能的分解：(4,13),

23的可能的分解：(7,16),(4,19),

27的可能的分解：(11,16)(8,19)(4,23)

29的可能的分解：(2,27)(3,26)(13,16)

35的可能的分解：(16,19)(4,31),(3,32),

37的可能的分解：(8,29)(5,32),

47的可能的分解：(16,31)(4,43),

53的可能的分解：(2，51)(16,37)

当中只有17，29，41，53有唯一可行的分解，所以庞涓才可能确定自己手上的数。

所以本问题的答案为（4，13）

具体是哪一个，得看孙和庞手上的数了

下面是我用JAVA的求解过程： 作者（koolening）

class GuiGuZi {

public static void main(String [] args){

new GuiGuZi().locate();

}

public void locate(){

for(int i = 2;i<=53;i++){

if(i%2==0) continue;

if(!isPrimzahlenSum(i)) continue;

if(factoring(i)>0){

int a = factoring(i);

int b = i - a;

System.out.println("鬼谷子选的数是" + a + "和" + b);

}

}

}

public boolean isPrimzahlen(int a){ //检验是不是质数

if(a==2) return true;

for(int i=2;i<=(int)Math.sqrt(a);i++){

if(a%i==0) return false;

}

return true;

}

public boolean isPrimzahlenSum(int sum){ //检验两数之和能不能被分解为两个质数

for(int i=2;i<=99;i++){

if(isPrimzahlen(i))

for(int j=2; j<=99;j++){

if(i==j) continue;

if(isPrimzahlen(j)){

if((i+j)==sum)

return false;

}

}

}

return true;

}

public int factoring(int sum){ //检验是不是庞的数是不是能分解成 质数2的N次方，并且是不是唯一的

int count = 0;

int a = -1;

for(int i=2;i<sum-2;i=i*2){

if(isPrimzahlen(sum-i)) {

count++;

a = i;

}

}

if(count==1) return a;

else return -1;

}

}