根理想

概念

例子

性质

外延概念

与几何的联系

概念

设R是交换幺环. I是R的理想.我们可以通过I来构造更大的理想√I:

a∈√I 当且仅当存在某个正整数n,使得方幂a^n∈I. 我们称√I为I的根理想.

例子

1. R=F[x]是域F上的多项式环， I=(x^2)是由x^2生成的多项式理想， 那么√I=(x), 即由x生成的理想.

2. R=Z是整数环, I=(27)是由27的倍数构成的主理想， 那么√I=(3)是素理想.

性质

1. I总是含于√I内.

2. 根理想的根理想就是根理想本身.

外延概念

一个理想I称作准素理想， 如果它的根理想是素理想. 一个理想可以唯一分解为准素理想的乘积--这是整数上的算术基本定理的推广。

与几何的联系

希尔伯特定理表明， 代数簇的范畴与根理想的范畴之间存在一一对应关系。

从方程角度看， 根理想相当于把那些多项式的方幂开根后也纳入到理想之中。