分形图形

分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有着广泛的应用。

基本信息(概述 定义)

研究与应用(分形几何学的应用 分形绘画 分形市场假说 古琴音乐中的分形几何)

分形图形简介(一、关于分形与混沌 二、一点数学知识 三、程序例子)

基本信息

概述

分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。

定义

说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。

分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支，有人认为数学就是美，而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家所青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。

研究与应用

近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。

分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科赫(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。随着研究的广泛深入，分形艺术的外延已经不只局限于复数迭代产生的图象了，现代分形艺术的外延等同于超级矢量。它是传统矢量绘画的扩展，放大图片的时候能在不丢失细节的前提下显现更多的细节层次。分形结合混沌的理念已经渗透到数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

分形几何学的应用

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。不规则几何元素，其维度并非整数的几何图形，而是在

越来越细微的尺度上不断自我重复，是一项研究不规则性的科学。

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1.　在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。生物学上，一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。气象学交叉领域也有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。

分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，使分形对象没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值 。

分形绘画

分形绘画是计算机绘画的一种，脱胎于分形几何学的应用分支。它充分利用了数学公式，通过数学计算来求得每一个像素的数值，然后把众多像素组合起来就构成了奇妙的图形。分形绘画这种度他的绘画艺术所表现的是奇妙的数学结构，展现的是数学世界的瑰丽景象，它使枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，从而成为很具体的感受。计算机分形绘画常常被用来描绘闪电、树枝、雪花、浮云、流水等自然现象，也被用来制作抽象风格的对称或者是不对称的图案。分形的管理学

管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展.随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。

城市建筑、道路分布、商业网点布局、生活服务设施建设、信息高速公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、管理方法与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础。

分形市场假说

埃德加E彼得斯（Edgar E. Peters）首次提出了分形市场假说，从非线性的观点出发，根据资本市场呈现出混沌行为，提出了更符合实际的资本市场基本假设——分形市场假说，它强调证券市场信息接受程度和投资时间尺度对投资者行为的影响，并认为所有稳定的市场都存在分形结构。

分形市场假说认为：资本市场是由大量的不同投资起点的投资者组成的，信息对各种不同投资者的交易时间有着不同的影响，在每日、周或月时段内的交易未必是均匀，而且投资者的理性是有限的，未必按照理性预期的方式行事。在对信息的反应上，有些人接受到信息马上就作出反应，然而大多数人会等着确认信息，并且不等到趋势已经十分明显就不作出反应。彼得斯从对资本市场的价格变化的正态性检验开始，应用R/S分析方法证实了资本市场上的资产价格或收益符合分数布朗运动或有偏的随机游动规律。并通过对资本市场时间序列的相空间重构，计算了资本市场的分形维和李雅普诺夫指数，从而完成了对资本市场的动力学分析。与有效市场假说观点不同的是，分形市场假说认为信息的重要性是按照不同投资期限的投资者来判断的。由于不同投资者对信息的判断不同，所以信息的传播不是均匀扩散的。在任一时点，价格并没有反映所有已获得的信息，而只是反映了与投资期限相对应的信息的重要性。信息集对基本分析和技术分析来讲短期影响比长期影响要大。随着投资期限的增大，更长期的基本面分析更加重要。因此，价格的变化可能只反映了信息对相应投资期限的影响。

古琴音乐中的分形几何

分形几何的概念是由曼得勃罗在上世纪60年代末提出来的。它的主要思想是说，在不规则现象表面所呈现的杂乱无章的背后仍存在着规律，这个规律就是在放大过程中呈现出的自相似性。

在自然界中，分形现象普遍存在，俯拾即得。如：微观世界中晶体的生长，相变过程和化学反应等；宇观世界中太阳黑子的活动和星际空间物质的分布等；宏观世界中河流的走向，树枝的分叉以及地震震级的分布等；就连我们人体血液循环系统中血管的分支和脑电波分布都是分形的。也就是说，自然界似乎存在着“分形者生存”这一规律。

既然我们赖以生存的这个世界到处都充满着分形，既然我们的血管分支和脑电波都是分形的，因而想必在我们的潜意识中(或者是本能地)对分形现象定会有着某种默契或产生共鸣，或者说我们人也偏爱分形，正是这种偏爱形成了音乐创作与欣赏在主体心理与对象间的锁定。沃斯和科拉克等人首先从实验上证明了这一点，他们发现优美动听的音乐的音量是分形的，后来许氏父子（许靖华和安得鲁许）又从理论上证明了古典音乐中旋律的进行也是分形的。

为了研究音乐的分形几何，首先必须把它加以量化，因此撇开音乐的社会学定义不讲，现在我们从数学上给它下一个定义：音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列。既然如此，那么这种有序的数学表达是什么？随意地敲击琴键不会产生音乐，不同音的有序排列组成了旋律，这种排列是分形的吗？如果答案是肯定的话，那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程i 与其出现的几率F 应满足下述关系：

F = C/i或logF=C’- Dlogi

即音程i 的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系,也就是说以logF 和logi 为纵横坐标作图,则各点均应在同一直线上。其中D 为该作品的分形维数(分维)，C 为比例系数，C’= logC。

许氏父子通过分析发现[8]，对于巴赫和莫扎特等古典音乐大师的作品，上述分形关系式均可确立，但对于现代无调性音乐作品，则无此种关系。为了对我国古代音乐进行深入的理解与研究，为了对东西方音乐的异同进行比较，下面我们也将使用这一方案对我国古琴音乐进行分析。

首先选取《古逸丛书》中管平湖打谱的《幽兰》[9]进行分析。对该曲中音程i 及其出现几率的统计结果如下表：

将音程i 及其出现概率F分别取对数对应作图可以看到（图1A），在区间2≤i≤11，存在分形关系：

F = 3.80/i3.15

图中与分形关系有较为显著偏离的是i=7（纯五度）和i=10（小七度）的过量。其实对于这种偏离也是不难理解的，根据和声音程在听觉上所产生的印象，音程可以分为协和音程与不协和音程两类。两音的频率具有较小整数比的音程叫协和音程，属于这一类的有极完全协和音程的纯一度（1：1）和纯八度（2：1）以及完全协和音程的纯五度（3：2）和纯四度（4：3）。所有这些音程听起来都很悦耳，因而在优美的乐曲中协和音程出现的几率就较大，从而导致了对分形关系的偏离。类似的，由于不协和音程（小二度i=1，减五度i=6和大七度i=11等）在听觉上给人的印象是比较刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在创作时总是有意识地少用，这也就导致了与分形关系的偏离。

图1B是巴赫《创意曲》No.1的旋律分形关系。人们曾评论说，巴赫的作品有着数学般的精确，如果这种精确是指在其作品分形关系成立严格程度的话，那么把图1A和图1B相比较可以看出，古琴曲《幽兰》有着较巴赫《创意曲》No.1更为精确的数学。《幽兰》曲早《创意曲》千年而作，况中国与德国又相距万里之遥，且又分属东西方两种不同的文化圈，何以二者都服从分形关系呢？难道这只是偶然的巧合吗？

为了更深入地理解这一问题，我们对大量的古琴曲[9]进行了统计分析，结果表明，绝大多数的乐曲中均存在着分形关系。特别是《阳春》和《华胥引》，它们有一个共同的特点是分形关系中的比例系数C=1（即分形关系线延长与纵轴相交于O点），这与莫扎特的F大调《奏鸣曲》及A大调《奏鸣曲》完全一样。一般认为，莫扎特的这两首曲子有着图画般的绚丽，而古琴曲《阳春》和《华胥引》亦是音画交融美妙无比。那么，这种对应仅是种巧合呢还是有着尚未发现的更深刻的原因？

与西方古典音乐相比，古琴音乐有以下几个特点。(1)同音重复和八度音出现的比例较大。究其原因，固然是因为同音重复（i=0）和八度音（i=12）属于极完全协和音程，听起来融合悦耳，但更主要的原因是古琴音乐大多来源于以民歌为基础的琴歌，而民歌中同音重复的比例极大，这是一个带有普遍性的规律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材于民歌而创作的A大调《奏鸣曲》的第一乐章中，同音重复的比例亦高达27%。(2)几乎没有半音（i=1）和三整音（i=6）。与西方音乐不同，我国古代音乐大多采用五声调式或以五声调式为基础的六声调式与七声调式。在五声调式中根本就没有半音和三整音，六声调式中由于清角和变宫音的加入导致半音的出现，七声调式中更由于在五声调式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，从而导致除半音外又出现了三整音，但鉴于半音和三整音听起来比较刺耳，而且演奏起来也不易把握，故而出现频率较低。（3）小三度（i=3）的过量和大三度（i=4）的不足。众所周知，由于汉语语言的音韵特点对音乐旋律的深刻影响，小三度在我国民族音阶的发展过程中一直占有重要的地位，即使今天，在我国民间劳动歌曲的呼号声中，多数情况下小三度也还占据主导地位，如京韵大鼓口语旋律在行腔时就呈现典型的三度音程特征。所以说，小三度的过量是很自然的。大三度不足的原因同样来源于古琴曲的调式，如在五声调式中，大三度只能存在于宫音与角音之间，这样在一首乐曲中，除非是有意地采用大三度音程，否则它一定是不足的。(4)复音程(i>12)出现的比例较大。西方古典音乐中复音程呈现的比例均在百分之一以内，而在古琴音乐中复音程呈现的比例则在百分之几到百分之十几不等。这种差别可能来自于东西方人的心智模式（思维方式与思维习惯）的不同。国人一般是从整体上看待和把握事物，喜欢那种宽阔宏大的场面；而西方人通常是从细微之处认识和掌握事物，他们喜欢那种细致、严格、有确定界限的景观。这种哲学上的认知差别反映在音乐中便造成了上述差异。

在分析中，我们还发现了一个不存在分形关系的例子，这就是著名的古曲《流水》。其实，出现这一现象也是不难理解的，为了模仿水流的自然响声，为了表现流水的从容缓进和跌宕起伏，亦即为了表达流水的“洋洋乎”，曲作者过量地使用了小三度和纯五度等音程，从而使得其他音程显得相对不足，无法与其相匹配。但琴曲《流水》与西方现代无调性音乐（亦无分形关系存在）是不同的，在现代无调性音乐作品中，广音程特别是某些不协和音程（如减五度）出现的几率很大，甚至超过了狭音程，但在《流水》一曲中狭音程出现的几率仍是最大的。

分形图形简介

一、关于分形与混沌

关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。

考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。

与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是分离吸引子和排斥吸引子产生的，因此某种意义上说，分形是混沌行为的视觉表现。

二、一点数学知识

首先要说明的是，这里介绍的数学知识，只是为了介绍分形概念的方便。如果你想详细了解这方面的知识，复变函数、概率、混沌系统等等一系列的东西，你最好去专门看一看。

1、吸引点和逃离点

这是描述分形产生的基本词汇。我们考虑这样一个函数f：

f: R -> R

x -> f(x)

函数和它自身的复合，比如f，记作f（f（x））。如果你将f再一次作用于结果，则记为f（f（f（x））），这样你就完成了一个函数f的复合迭代。很显然，在定义域的某一点上的函数迭代，有可能是发散的或收敛的。使迭代发散的点称为斥点；然而，如果迭代结果趋于某一个孤立的点，则该点称为吸引点。在迭代中，两者都不是的点，就称为中性点。

下面考察某些迭代函数或迭代几何过程的所有吸引点的集合。当迭代函数或迭代几何过程的吸引集是一个无限自相似集（也就是分形，understand？），那么这个吸引集就称为一个奇异吸引子。

2、分叉图

某些实函数的吸引子集合，比如一个简单的例子：

f（x）=x**2 +c //2是幂：）

对于某些实常数c进行函数迭代。假设从c=-1.1，x=0开始，你不妨拿个计数器：），进行迭代。重复作下去，你会发现一个有趣的现象：迭代结果在-1.0左右和0.1左右跳来跳去。如果迭代次数很多，比如200次，并且对一定范围内不同的c值都这样做，将会有一个非常美妙的令人惊讶的结果。

3、Sierpinski三角形

从上面的介绍中，你也许已发现分形产生的一个途径。另一条途径就是通过重复进行某个特殊的几何过程。这类分形叫做迭代函数系统(IFS)。

Sierpinski三角形是一个比较经典的例子。

我只能把它形成的过程说一说了，也不管那百闻不如一见的话。

（1）三角形，取三边的中点并相互连接---产生四个全等的小三角形；

（2）根据（1）对每一个小三角形如此迭代。

重复一定次数，就会产生一个奇异吸引子，也就是一个分形。

程序实现的技巧后面详细叙述。

分形是可递推产生的，我不在详细说了，比如Cantor集的例子,大家在一般书中应能找的到.我最后想说说IFS变换规则。它在分形算法的描述和程序的实现中非常重要。

4、迭代函数系统变换

产生Sierpinski三角形和其它一些分形的几何规则可以用一套包括滑动、伸展和旋转在内的运算来进行描述。这类数学运算称为仿射变换，通常用矩阵运算实现其编程。

如下表，给出了Sierpinski三角形的规则的矩阵编码形式：

1------0.5------0-------0------0.5------25-------1---------0.33------

2------0.5------0-------0------0.5------1--------50--------0.33------

3------0.5------0-------0------0.5------50-------50--------0.33------

如表中d[1，5]的位置是25；表最后一列有特殊的意义，表示这一行所进行的变换将要被用到的可能性或概率。

所谓的变换，到底是如何应用的呢？假设变换是将（x，y）映射到（x’，y’），你

看一看第i行所实施的的变换：

y’=d[i，3]y +d[i，4]y +d[i，6]

你就会明白。概率如何应用呢？你看：

i=random（3）+1 //在变换之前：）

不行了吗？

这些东东的应用也许我们都可以掌握，但发现这样的矩阵，并不是一件简单的事。下面看分叉图和Sierpinski三角形的程序实现（delphi6.0）。

三、程序例子

深入搞图形图象，数学还是挺重要的。下面，只是把上次说的数学知识用计算机实现一下，大家如果回去自己写一写，看到那图案，如果你认为这些事是如此的有趣，立志要深入下去了，我将非常高兴。

程序画出了一个分叉图，一个Sierpinski三角形（delphi6.0）。在例子中，都是通过操作windows菜单，即绘图函数分别在两个菜单的响应事件中。