分形插值

分形插值是一种构造分形曲线的方法，是由M.F.Barnsley在迭代函数系统基础上提出来的。原理是对一组给定的插值点构造相应的IFS，使IFS的吸引子为通过这组插值点的函数图。

分形插值函数为拟合实验数据提供了新的手段。自Euclid几何创立以来，人们就试图把几何体写成数学语言。随着基本初等函数如幂函数、指数函数、对数函数和三解函数等的陆续出现，传统数学基本解决了几何体的描述问题。但对大量存在的离散数据，这些基本初等函数又变得无可奈何。尽管有Newton插值、Lagrange插值和String插值等方法面世，但都难以解决几何体的低阶全局光滑问题，直到20世纪60年代“样条函数插值”的提出与应用，一个用低次多项式解决全局光滑性的问题才算有了一个圆满的解决。可见几百年来，数学家对插值问题的解决是朝着愈来愈光滑的方向发展的。也就是说，大家熟知的传统插值方法，通常把实验数据点画在图纸上，然后用“直线段”连接各测量值，或用多项式插值和样条插值来拟合这组数据。不管用什么方法，它们都是强调光滑性，即当图充分放大后局部看上去仍呈直线段，这用来描绘极不规则的曲线就很不理想了。如同Euclid几何中的圆、椭圆、双曲线一样，尽管迭代函数系统等数学语言可描述出分形几何的基本图形，如Koch曲线、Cantor集、Sierpinski三角形等，但对山脉、云彩、森林的轮廓等这些大自然几何体以及每分种都在变化的股票市场是非常难以得到它们的数学语言表达式的。分形几何实际上是大自然几何，分形插值函数则利用大自然中呈现出来的许多现象具有精细的自相似结构这个特性来拟合波动性很强的曲线，现已证明这是一个十分有效的工具。

分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征，它也能用“公式”来表示，能快速地被计算出来。它们之间的主要差别是分形插值函数的分形特征，如它有非整的维数，并且是针对集合而非针对点的。