非常丰富除子

非常丰富除子(Very ample invertible sheaf (or line bundle, or divisor)) 也是代数几何中最重要的一类对象。

Proper（对应于复几何中的紧致性）的代数簇X上的除子L称为非常丰富除子， 如果它定义的有理映射满足以下条件：

1. 这个映射是态射， 也就是说它是处处有定义的；

2.这个映射是单射；

3.这个映射可以区分每一点上的切向量。 换句话说， 一个点上的两个不同的切向量， 在这个映射下不会映成同一切向量。

注：a) 一般的，invertible sheaf L 是非常丰富的，当且仅当存在immersion(嵌入，即开嵌入和闭嵌入的复合) f: X----> P^N (某射影空间)，使得L同构于O(1)的拉回。

b）上述条件中，1等价于L是由整体截面生成的（generated by global sections）；1,2,3等价于L定义的态射是闭嵌入（closed immersion）。和a)的等价性在于，proper的概形（scheme）在态射下的像是闭的。

有一个非常丰富除子的proper代数簇必定是射影代数簇，反之亦然。 这是因为相应的有理映射给出了它到射影空间的一个闭嵌入。

需要注意的是，very ample invertible sheaf是一个相对的概念（与immersion有关）。与之相对应的绝对概念是丰富除子（ample invertible sheaf）。定义是，invertible sheaf L 是概形（Scheme）X 上的ample invertible sheaf 当且仅当 任给一个X上的凝聚层（coherent sheaf）F， 存在自然数n_0，使得任何n>n_0, F tensor L^(tensor n) 是由整体截面生成的（generated by global sections）。

两者之间的关系是：L ample 当且仅当 存在充分大的n, 使得L^(tensor n)是very ample的。

例子：1. 光滑射影代数曲线上的除子 D 是ample当且且仅当 deg(D) > 0。

2. 光滑射影代数曲面上的除子 D 是ample 当且仅当 D.D>0 且 任何一条曲面上的不可约代数曲线C， D.C > 0。

3. 一个ample但不very ample的例子：椭圆曲线上对应一个点的invertible sheaf。

注意：关于invertible sheaf (秩为一的局部自由层)，divisor和line bundle的等价性的讨论，可以参见Hartshore Chapter 2.5 2.6。