反例法

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子。

一、反例的概念与类型

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子。当然，从某种意义上来说，所有例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题(甚至是非常荒谬的命题)不成立。但这里，我们讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的反例。举反例也是一种证明的特殊方法，它可证明“某命题不成立”为真。一般地说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时只选其中一个就可以了。

反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，因此，数学上的反例可分为以下几种类型：

1．基本形式反例

数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断，它们之间的关系可用下面的逻辑方阵来表示(图65)。

全称肯定判断(所有S都是P)与特称否定判断(有S不是P)可以互为反例，全称否定判断(所有S都不是P)与特称肯定判断(有S是P)也可以互为反例。

2．关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例

充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可表述为p→q，即“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者。”可举反例“没有前者，却有后者”说明之。这种反例称关于充分条件假言判断的反例。

必要条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况必要条件的假言判断，可表述为p←q，即“没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”。可举反例“有了前者，没有后者”说明之。

3．条件变化型反例

数学命题的条件改变时，结论不一定正确。为了说明这一点所举出的反例称作条件变化型反例。条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学研究与教学均是有益的。

二、反例的作用

1．发现原有理论的局限性，推动数学向前发展

举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展。数学史证明，对数学中探索的重大课题与数学猜想，能举出反例予以推翻，与给出严格证明予以肯定，是同等重要的。

2．澄清数学概念与定理，为数学作出优雅的和艺术性很强的贡献

数学中的概念与定理有许多结构复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解。反例则可以使概念更加确切与清晰，使定理的条件、结论之间的充分性、必要性指示得一清二楚。数学中有许多许多这样的反例。

3．帮助学生学习数学基础知识，提高他们的数学修养与培养科学研究能力

数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维特点和逻辑推理体系。不能凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，差之千里”，而在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还掌握各类反例，这才会更深刻掌握数学基础知识，以及提高数学修养与培养科学研究能力。

所谓特例构造法就是手中有一些极端情况与典型反例。极端情况如分式的分母为零、图形为等边三角形、两直线平行与垂直等，特例在手，用时科学地组合，就可提出所需要举的反例。

三、反例法与反证法的区别

反例法一般用于否定一个判断（通常是全称判断或不存在性判断），反证法一般用于肯定一个判断（先否定后肯定）。