二元一次方程的解法_在线百科全书查询
二元一次方程的解法
一、教学内容
二元一次方程组
1. 认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组的形式表示出来。
2. 领会并掌握解二元一次方程组的方法，根据方程组的情况，能恰当地运用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组。
3. 体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把二元一次方程转化成一元一次方程，由此感受“化归”思想的广泛作用，提高分析问题和解决问题的能力。
解方程组
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
二、知识要点
1. 二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
你能区分这些方程吗？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；2y+y=2(一元一次方程）；2x-y=9（二元一次方程）。
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：
①等号两边的代数式是整式；
②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；
③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.
（2）二元一次方程的解
使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：
①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；
②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；
③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.
你能试着解方程3x－y=6吗？
2. 二元一次方程组
（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
对二元一次方程组的理解应注意：
①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
3. 代入消元法
（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）代入法解二元一次方程组的步骤
①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
例题：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
则：这个二元一次方程组的解
{x=4
{y=1
4. 加减消元法
（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
（2）加减法解二元一次方程组的步骤
①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；
②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
三、重点难点
本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。
典型例题
例1.下列各方程中，哪个是二元一次方程？
（1）8x－y=y；（2）xy=3；（3）2x－y=9；（4）8x-3=2.
分析：此题判断的根据是二元一次方程的定义. 由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2，而不是1，所以xy=3不是二元一次方程；2x－y=9是二元一次方程；又因为方程（4）中的不是整式，所以=2也不是二元一次方程.
解：方程8x－y=y，2x－y=9是二元一次方程；xy=3，8x-3=2不是二元一次方程.
评析：判定某个方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根据定义进行判断.
例2.已知-1是方程组的解，求m+n的值.
分析：因为是方程组的解，所以同时满足方程①和方程②，将分别代入方程①和方程②，可得由③和④可求出m、n的值.
解：因为是方程组的解，所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立，即解得所以m+n=－1+0=－1.
评析：应该仔细体会“已知方程组的解是……”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义.
例3.写出二元一次方程4x+y=20的所有正整数解.
分析：为了求解方便，先将原方程变形为y=20－4x，由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数.
解：将原方程变形，得y=20－4x，因为x、y均为正整数，所以x只能取小于5的正整数.
当x=1时，y=16；当x=2时，y=12；当x=3时，y=8；当x=4时，y=4.
即4x+y=20的所有正整数解是：
，，，.
评析：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要正确，二要不重不漏. “正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数，且适合此方程.
例4.已知5︱x+y－3︱+（x－2y）=0，求x和y的值.
分析：根据绝对值和平方的意义可知，5︱x+y－3︱≥0，（x－2y）≥0，由已知条件5︱x+y－3︱+（x－2y）=0可得即从而可求出x和y的值.
解：由题意得即解得.
评析：非负值相加为零，有且只有它们同时为零.
例5.用代入法解方程组：
分析：选择其中一个方程，将其变形成y=ax+b或x=ay+b的形式，代入另一个方程求解. 方程①中x、y系数相对较小，考虑到x=3－y，而y=，显然在下面计算中x=3－y代入方程②计算简捷.
解：由①得：x=3－y③
把③代入②得：8（3－y）+3y+1=0
解得：y=125
将y=125代入③，得：x=－47
所以这个方程组的解为
评析：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能较简单，表示的代数式也应尽可能简捷. （2）要对下面的计算进行预见、估计、以选择较好的方法.
例6.用加减消元法解方程组
分析：题中x、y系数不相同，也不是互为相反数；x的系数为4和6，y的系数为3和－4，它们的最小公倍数均为12，都可以变为12或－12，选择消去x，还是消去y，其难易程度相当.
解：①×3得：12x+9y=27 ③
②×2得：12x－8y=10 ④
③－④得：17y=17，解得y=1
把y=1代入①得：x=
所以原方程组的解为
评析：此题中在选择消去x，还是消去y，关键是：（1）看系数是否有倍数关系，如一个为2x，一个为6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在没有倍数、系数的条件下，看x、y系数的最小公倍数哪一个较小，通常消最小公倍数较小的未知数.
模拟试题
（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ）
A. 4x－2π=5 B. 3x+5yC. 2x－5y=0 D. 2x－5=y
2. 如果是方程3x－ay=7的一个解，那么a=（ ）
A. 5 B. 3 C. 1 D. 4
3. 已知二元一次方程3x－2y=12，那么（ ）
A. 任意一对有理数都是它的解
B. 只有一个解
C. 有两个解
D. 有无数多个解
*4. 二元一次方程x+y=4的正整数解的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 把二元一次方程3x－y=1写成用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A. x= B. x= C. y=1－3xD. y=3x－1
6. 四名学生解二元一次方程组时提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（ ）
A. 由①得x=，代入② B. 由①得y=，代入②
C. 由②得y=－，代入① D. 由②得x=3+2y，代入①
7. 方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
*8. 方程（2x－y－3）+︱3x+4y－10︱=0的解是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题
1. 在二元一次方程2x+3y=4中，用含x的代数式表示y，则y=__________；用含y的代数式表示x，则x=__________；当x=－1时，y=__________；当y=－1时，x=__________.
2. 已知x=1，y=－2是二元一次方程5x+ky=1的一个解，则k=__________.
3. 解方程组得
4. 已知3x－y=1是二元一次方程，则m=__________，n=__________.
5. 如果x－2y=3，那么7－2x+4y=__________.
6. 若是方程组的一个解，则a=__________，b=__________.
*7. 关于x、y的二元一次方程－2x+y=0中，m+n=__________.
8. 若2ab与－ab是同类项，则x=__________，y=__________.
三. 解答题
1. 根据下列条件，设适当未知数列出二元一次方程或二元一次方程组.
（1）甲、乙两商店共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲、乙两店所剩的练习本数相等；
（2）甲数比乙数的2倍小1，试着写出符合条件的一组解.
2. 用适当的方法解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
**3. 设二元一次方程ax+by+2=0的两个解分别为，. 试判断是否也是该方程的解.
*4. 已知m－3n=2m+n－15=1，求代数式m+n－4mn+3的值.
*5. 尝试用消元的思想，化三元为二元，化二元为一元，解方程组.
试题答案
一. 选择题
1. C 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B
二. 填空题
1. ；；2； 2. 2 3. 2 4. 3 －2 5. 1 6. 4 0
7. 0（提示：根据题意得，②－①得2m+2n=0，即m+n=0.
8. 1 5
三. 解答题
1. （1）设甲店有练习本x本，乙店有练习本y本，则. （2）设甲数为x，乙数为y，则x=2y－1. 如 等.
2. （1）（2） （3）
3. 把、分别代入二元一次方程ax+by+2=0中，得方程组，解得. 所以原二元一次方程是－x+y+2=0，即3x－y=4. 把代入3x－y=4中，等式成立，所以是方程ax+by+2=0的解.
4. 可解得m=7，n=2，所以m+n－4mn+3=0
5. （①+②+③）÷2，得x+y+z=12 ④，用④分别减去②、③、①，得……
二元一次方程常用解法解法一般来说有两种:
1.代入消元法:2,加减消元法.
这两种解法在初中数学教科书中有详细叙述这里就不在说了,
我们来看一下教科书中没有的,但比较适用的几种解法
(一)加减-代入混合使用的方法.
例1,13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得
x-y=-1
x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入(3)得
x=1
所以:x=1,y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（3）另类换元
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
方法总结
1. 二元一次方程与一元一次方程有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二元一次方程与一元一次方程有关概念的相同点和不同点. 这样，不但能加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳、概括的能力.
2. 方程组中的两个未知数一般是不能同时求出来的，必须先想办法消去一个未知数，把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，这种思想方法就叫做“消元法”. 解二元一次方程组的基本思想方法就是通过消元将“二元”转化为“一元”. 代入法、加减法是解二元一次方程组的基本方法，必须灵活运用.
二元一次方程组: 二元一次方程组
如右图所示这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。（两式都写在大括号中）
二元一次方程的解:
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的两个公共解，叫做一组二元一次方程组的解。
二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
但二元一次方程组只有唯一的一组解，即x,y的值只有一个。也有特殊的，例如无数个解：
{3X+4y=12 {x-y=2
{6X+8Y=24 {x+y=3
无解：
{3x+4Y=18
{4Y+3X=24
消元:
“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
消元的方法:
代入消元法,(常用）
加减消元法,（常用）
顺序消元法,（这种方法不常用）
顺序是对的
消元法的例子:
╭x-y=3 ①
〈
╰3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
则：这个二元一次方程组的解
╭x=4
〈
╰y=1
编辑本段教科书中没有的,但比较适用的几种解法: (一)加减-代入混合使用的方法.
例1,13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得
x-y=-1
x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入(3)得
x=1
所以:x=1,y=2
最后 x=1 ， y=2， 解出来
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)代入法
是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
如：
x+y=590
y+20=90%x
带入后就是：
x+90%x-20=590
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
换元法
比如(x+y)/2-(x-y)/3=6
3(x+y)=4(x-y)
解：设x+y为a,x-y为b
原=a/2-b/3=6①
3a=4b②
①×6 得3a-2b=36③
把②代入③ 得2b=36 b=18
把b=18代入②得a=24
所以x+y=24④
x-y=18⑤
④-⑤得 2y=6 y=3
把y=3代入④得 x=21
x=21
是方程组的解
y=3
整体代入法
比如2x+5y=15①
85-7y=2x②
解：把②代入①得
85-7y+5y=15
-2y=-70
y=35
把y=35代入②得
x=-80
x=-80
是方程组的解
y=35
应用题
一个公司招聘一些工人一个任务，让他们在一年内完成360辆电动车。熟练工每月做6辆电动车，新工人每月做3辆电动车。公司要招聘x(0<x<10)名新工人，y名熟练工。请问有几种招聘方法？
12(3x+6y)=360
3x+6y=30
x+2y=10
y=(10-x)/2
∵y为整数∴0<10-x<10,10-x为偶数
当x=2时，y=4；当x=4时，y=3；当x=6时，y=2；当x=8时；y=1。
答：可以招聘2名新工人，4名熟练工或4名新工人，3名熟练工或6名新工人，2名熟练工或8名新工人，1名熟练工。
