二元关系

设S是一个非空集合，R是关于S的元素的一个条件。如果对S中任意一个有序元素对（a，b），我们总能确定a与b是否满足条件R，就称R是S的一个关系（relation）.如果a与b满足条件R，则称a与b满足条件R，则称a与b有关系R，记做aRb;否则称a与b无关系R。关系R也成为二元关系。

定义

特殊的二元关系

二元关系的性质

定义

集合 X 与集合 Y 上的二元关系是 R=(X, Y, G(R)) 当中 G(R)，称为R 的图，是笛卡儿积 X × Y的子集。若 (x,y) ∈ G(R) 则称 x 是 R-关系於 y 并记作 xRy 或 R(x,y)。

但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 R ⊆ X × Y 则 R 是一个关系。

例子：有四件物件 {球，糖，车，枪} 及四个人 {甲，乙，丙，丁}。 若甲拥有球，乙拥有糖，及丁拥有车－即无人有枪及丙一无所有－则二元关系"为...拥有"便是

R=({球，糖，车，枪}, {甲，乙，丙，丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)})。

其中 R 的首项是物件的集合，次项是人的集合，而末项是由有序对（物件，主人）组成的集合。比如有序对（球，甲）以球R甲 表示，代表球为甲拥有。

不同的关系可以有相同的图。以下的关系 ({球，糖，车，枪}, {甲，乙，丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)} 中人人皆是物主，所以与 R 不同，但两者有相同的图。

话虽如此，我们很多时候索性把R 定义为 G(R) 而 "有序对 (x,y) ∈ G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈ R"。

二元关系可看作成二元函数，这种二元函数把输入元 x ∈ X 及 y ∈ Y 视为独立变数并求真伪值（包括「有序对(x, y) 是或非二元关系中的一元。」此一问题）。

若 X=Y，则称 R为 X上的关系。

特殊的二元关系

设<math>A</math>是一个集合，则

空集<math>\\emptyset</math>称作<math>A</math>上的空关系

<math>E_ = A \\times A</math>称作<math>A</math>上的全域关系

<math>I_ = \\{(x, x)|x \\in A\\}</math>称作<math>A</math>上的恒等关系

二元关系的性质

关系的性质主要有以下五种：自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性。

设R为A（A是集合）的关系，

（1）若"x（x∈A→ <x,x>∈R）， 则称R在A上是自反的。

（2）若"x（x∈A→ <x,x>ÏR）， 则称R在A上是反自反的。

（3）若"x"y（x，y∈A∧<x,y>∈R®<y,x>∈R）,则称R是为A上对称的关系。

（4）若"x"y（x，y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R®x=y）,则称R是为A上反对称的关系。

（5）若"x"y"z（x，y，z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R®<x,z>∈R）,则称R是为A上传递的关系。

例1：

设A={1,2,3},R1,R2,和R3是A上的关系，期中

R1={<1,1><2,2>}

R2={<1,1><2,2><3,3><1,2>}

R3={<1,3>}

则R2是自反的，R3是反自反的，R1既不是自反的也不是反自反的。

例2：

设A={1,2,3},R1,R2,R3和R4是A上的关系，期中

R1={<1,1><2,2>}

R2={<1,1><1,2><2,1>}

R3={<1,2><1,3>}

R4={<1,2><2,1><1,3>}

则R1既是对称的也是反对称的。R2是对称的但不是反对称的。R3是反对称的但不是

对称的。R4既不是对称的也不是反对称的。

例3：

设A={1,2,3},R1,R2,和R3是A上的关系，期中

R1={<1,1><2,2>}

R2={<1,2><2,3>}

R3={<1,3>}

则R1和R3是A上的传递关系，R2不是A上的传递关系。