对数积分

定义

级数表示法

渐近展开式

数论中的重要性

对数积分li(x)是一个非初等函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出现在与素数定理与黎曼猜想的相关理论之中。

定义

对数积分如下定义

li(x)=∫1/ln(t) dt (0~x)

其中在x=1处有一个奇点。所以只能用柯西主值概念解释：

-

-

-

----

由于积分在x趋于0时，积分值会趋向无穷大。所以，常常会出现相似定义：欧拉对数积分定义为：

Li(x)=li(x)-li(2)

或

Li(x)=∫1/ln(t) dt (2~x)

级数表示法

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

li(x)=Ei(ln(x))

当x>1时，

li(e^x)=Ei(x)=γ+ln(x)+∑x^n/(n*n!) (x≠0)

一个收敛更快的是：

li(x)=γ+ln(ln(x))+sqr(x)*∑((-1)^(n-1)*ln(x)^n/(n!*2^(n-1))*∑1/(2k+1) (0~[n-1/2])) (0~∞)

其中[x]为高斯函数

渐近展开式

数论中的重要性

对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，素数定理表明：

π(x)~li(x)~Li(x)~x/ln(x)

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。