等边三角形_在线百科全书查询
等边三角形
等边三角形，英文： equilateral triangle。等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60。它是锐角三角形的一种。
等边三角形的概念
英文：equilateral triangle，“等边三角形”也被称为“正三角形”。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：
1.三边长度相等。
2.三个内角度数均为60度。
3.一个内角为60度的等腰三角形
等边三角形的性质
（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60。
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。（4）等边三角形的重要数据
空间对称群 二面体群 (D3)
角和边的数量 3
施莱夫利符号 {3}
内角的大小 60 （5）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
(6)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
作等边三角形
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单： 先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
等边三角形的判定
首先考虑判断三角形是等腰三角形。
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
理解等边三角形的性质与判定:
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
推论3：两个角都等于60是等边三角形
等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。（三线合一）
等边三角形的复数性质
A，B，C三点的复数构成正三角形
等价于 A+wB+w^2C=0
其中
w=cos(2π/3)+isin(2π/3)
1+w+w^2=0
等边三角形的高
等边三角形的高和其边长的比为 √(3/4) ：1
证明：
作等边三角形的一条高，将等边三角形分为两个全等的直角三角形，
设这个等边三角形的边长为a，则其中一个直角三角形一条直角边长为1/2a，斜边为a（即该等边三角形. 由勾股定理，（直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方），得另一条直角边（即该等边三角形的高）为 √a^2-（1/2a)^2 = √(3/4a) ，即证.
由上，可推导出等边三角形的面积公式：
S=1/2ah= （1/2）×[√(3/4a)] = [（√3）/4]×a^2
等边三角形与圆
h=a sin60=1/2 √3
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na²cot(π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²表示内切圆面积，
SR=πR²=1/3πa²表示外接圆面积。
等边三角形的相关问题
已知△ABC中，∠A=60，且AB+AC=a，当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。
证明：AC=a-AB
根据余弦定理
BC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosA
BC^2=AB^2+BC^2-AB*BC=AB^2+(a-AB)^2-AB*(a-AB)=3AB^2-3a*AB+a^2=3(AB-a/2)^2+a^2/4
所以当AB=a/2时，BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以三角形的等边三角形
