抽象空间微分方程

简介

巴拿赫空间中的微分方程。是常微分方程理论在无限维空间中的发展，研究可数无穷个常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空间或希尔伯特空间的理论。它也是用常微分方程的思想和方法，研究偏微分方程的重要工具。

设Χ是巴拿赫空间，D是Χ中的开集，J是实轴上的开区间，函数ƒ∶J×D→Χ是连续的。微分方程 k=1,2,3,4....　(1)

是常微分方程组在巴拿赫空间X 中的自然推广。设开区间(α,β)嶅J，φ:(α，β)→Χ是强可微的，并且在开区间(α，β)中成立恒等式就称 x=φ(t)是微分方程(1)的解。

解的存在性 当ƒ关于 x满足李普希茨条件（见常微分方程初值问题）时，利用逐次逼近法可以证明：对于给定的初值(t0,x0)∈J×D，微分方程(1)满足初值条件

(2)的解存在且唯一。然而,和常微分方程组的情形不同,仅有ƒ 的连续性不足以保证微分方程(1)满足初值条件(2)的解的存在性。例如，设с0表示满足 的数列全体所成的空间,它的元素x的范数（见巴拿赫空间）为‖x‖=sup│xk│。 在空间с0中考察含无穷个方程的常微分方程组 (3)初值条件为 (4)显然，(3)的右端ƒ是с0上的连续函数。但是,在с0中不存在方程(3)满足初值条件(4)的解。为了推广柯西—皮亚诺定理（见常微分方程初值问题）到巴拿赫空间中的微分方程(1)，需要利用有界集的非紧性测度。设B是有界集,它的非紧性测度是α(B)=inf｛d>0：能用有限个直径小于d的集覆盖B｝。如果ƒ:J×D→Χ连续,并且对于D的任一有界子集B 成立关系式 α(ƒ(J，B))≤ω(α(B))，其中ω:【0,+)→【0,+)连续,而常微分方程的以(t0,0)为初值的唯一解是ρ 呏0；那么微分方程(1)以(t0，x0)∈J×D为初值的解是存在的。它的证明需要利用绍德尔不动点定理（见不动点理论）。 许多有关常微分方程组的定理，诸如初值问题解的唯一性定理等,都可移到巴拿赫空间中的微分方程(1)。 线性方程 当ƒ(t,x)呏A(t)x+b(t)时，方程(1)成为线性方程 (5)M.Γ.克列因、J.L.马塞拉等曾讨论A:J→L(Χ),b∶J→Χ连续的情形，其中L(Χ)表示 X上有界线性算子（见线性算子）。这时，方程(5)以(t0,x0)∈J×D为初值的解存在且唯一，并且在J上成立常数变易公式 式中U(t,s)∈L(Χ)，满足关系:U(t,τ)U(τ,s)呏U(t,s)，U(s,s)呏I和称 U(t,s)是相应于(5)的发展算子。特别,当A(t)呏A是Χ上的线性有界算子时,克列因还讨论了A()具有周期ω的情形，推广了周期系数线性常微分方程组的理论。对于非线性微分方程 (6)假设g:J×Χ→Χ连续， J=【0,+),人们还讨论了零解的稳定性，推广了A.M.李亚普诺夫关于稳定性的有关结果（见常微分方程运动稳定性理论）。 但是，对于偏微分方程，例如热传导方程 (7)不能化为具有有界算子A(t)的线性方程(5)。若以 H姲表示区间【0,1】上一阶导数平方可积且在0和1取值为0的实连续函数全体当赋以范数 时所构成的希尔伯特空间，又记x（t）=u（t，）,b(t)=b(t,),而当u(s)二阶导数平方可积时,那么(7)可以化为Χ =H姲上的线性方程 (8)但这里，A是 H姲上的无界线性算子。因此，在无限维空间中有必要研究A为无界算子时的线性方程(8)。 设线性算子A的定义域D(A)是Χ中的稠密集,A还是闭算子，如果当λ>β时A的预解算子(λI-A)-1(见线性算子)是Χ上的有界线性算子，并且成立不等式 其中M>0是常数，那么根据希尔-吉田耕作定理,A是Χ上的线性有界算子半群T(t)(t≥0)的母元。如果 b:J→Χ强可微，可以证明：常数变易公式 (9)给出微分方程(8)的解。由它可得热传导方程、波动方程等解的公式。当b:J→Χ是博赫纳可积时,表达式(9)的右端是强连续的，称为(8)的软解。 加藤敏夫、田辺広城以及∏.E.索伯列夫斯基等还讨论了A(t)是Χ上的无界线性算子时的微分方程(5)，给出了发展算子U(t,s)存在以及常数变易公式成立的条件。 为适应非线性抛物型偏微分方程理论、分布参数系统、控制理论等的需要，人们又进一步讨论了半线性发展方程 (10)式中A(t)是Χ上的无界线性算子,ƒ：J×D →Χ是连续的；还研究了非线性压缩半群所产生的非线性方程。 在抽象空间微分方程研究中，除解的存在性、唯一性、解对初值的连续性、常数变易公式外，还有人研究周期解的存在性、唯一性，解的稳定性，分歧现象等等问题，并且研究解的全局结构、高阶微分方程等。 关于解的概念，除前述的以强导数为依据的解的概念外，还有以弱导数为基础的弱解的概念等。