抽象函数

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。

抽象函数的形式(一般形式 常见函数的抽象函数形式)

微分方程求解抽象函数

解法举例(特殊值法 赋值法 图像性质解法)

怎样学好抽象函数(熟悉函数的基本知识 灵活选择解题方法)

抽象函数的形式

一般形式

不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。

常见函数的抽象函数形式

幂函数：f(xy)=f(x)f(y)

正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)

对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)

三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)

周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)

微分方程求解抽象函数

解法举例

特殊值法

特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。

例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，当x<0时， f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )

A　有最小值f (a)　B　有最大值f((a+b)/2)　C　有最小值f (b)　D　有最大值f (b)

分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有

特殊函数　抽象函数

f (x)= x　f (xy) =f (x) f (y)

f (x)= 0　f (x+y)= f (xy)

f (x)= logax　f (xy) = f (x)+f (y)　此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)

∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。

赋值法

根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。

例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法

解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,

再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

得 f (x)是一个奇函数，图像关于原点对称 。

∵当x <0时，f (x) >0，

即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。

图像性质解法

抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。

抽象函数解题时常要用到以下结论：

定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称。

定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。

例4　f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。

分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。

由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。

证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。

∴f (x)是一个周期函数。

例5 已知定义在[-2，2]上的偶函数f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围

分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免复杂的讨论。

怎样学好抽象函数

熟悉函数的基本知识

解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函数的性质。例如，中学涉及的函数性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性；常见的函数有指数函数、对数函数、三角函数、二次函数、对勾函数（Y=X+A/X(A>0)）等等。

灵活选择解题方法

从上文对几种解法的介绍不难看出，选择合适的方法对解决抽象函数问题往往会起到事半功倍的效果。对于选择题，选用特殊值法、赋值法、图像法等等可以在很短的时间内得到答案，在应试时节省出不少时间。而对各种方法的理解，在解题中选择出合适的方法，则需要在平时的学习中多体会多感悟。