抽象代数基础_在线百科全书查询

本书的主要内容为群论、环论基础、域上的线性代数、域论和伽罗瓦理论。对于抽象的概念,本书力求通过阐述其与分析、几何、物理和其他应用学科的联系以及通过大量具体直观的例子,使读者对抽象代数能有较深入的理解。书中有充足的习题,并对其中较难的习题给出了参考解答。阅读本书所需要的预备知识仅为大学微积分和线性代数。

本书是抽象代数的基础教材,适于作为数学专业研究生基础课教学或自学的教科书,也可供其他相关专业的学生、研究者以及大学本科教学用作参考书。

抽象代数是数学和其他一些相关专业的一门研究生基础课程。这方面的教材和参考书甚为丰富,一般在教学中是同时参考几本书,或以一本为主。但近年来,由于研究生对教材的需求,作者觉得写一本新的教材是有意义的,目的是根据我国大学本科毕业生目前的情况,提供一本内容仅包括抽象代数初步理论的研究生教科书,以方便学生的学习和参考,并力求在一学期的教学时间中,可在代数方面为进一步学习打下较坚实的基础。这一想法得到多位专家的支持。

抽象代数可以说是开创于19世纪末到20世纪初的德国学派,100余年来有了很大的发展,有些好的代数学教科书(如[15])包含了这方面的丰富内容,但这样的书势必内容庞大。很多专家(例如曾肯成先生)认为, 一本旨在用于一学期教程的教科书,内容应包括群论、环与模的初等理论、域论和伽罗华理论,作者完全赞同这样的看法。大体上看,这样的安排是从群论开始,经过一些必由之路,最终回到群论的历史来源和最主要应用之一 —— 伽罗瓦理论。完成了这样一个(黑格尔所谓的) “逻辑的圆周”,读者将能理解代数中的一些哲学思想,体验到其中的奥妙,从而获得深刻的印象。这些内容基本上属于早期的抽象代数的范围,而本书在有限的篇幅下,适当地反映了一些代数学的近代发展。

抽象代数的一个基本特点是“抽象”。对于相当一部分读者,如何适应抽象的语言并理解其中的深刻思想,是开始学习时的一个难点。抽象的概念需要具体地理解, 例如对于群的概念,尽管定义很简单,但只有在接触了多种多样的群,看到群与数、代数方程、线性代数、几何、微分等很多方面的联系以及多方面的应用,特别是理解了表示以后,才能深刻地理解群的意义及其重要性。在这方面,作者近年来看到两种不良倾向: 一种是“从抽象到抽象”,就是从一些抽象的定义出发,一味作抽象的逻辑推导,不管这些定义和推导出的命题有什么背景或应用。另一种是把一些本质上是新的概念完全纳入自己原有的知识体系,例如把群列表表达,甚至把用乘法表计算当做研究群的唯一方法。这两种倾向都会阻碍从具体到抽象的认识过程。

作者曾在芝加哥大学、南开大学等学校讲授本科代数课程, 此后又曾在中国科学院研究生院多次讲授抽象代数课程。本书是在多年积累的讲义的基础上, 进行改写和补充而成书。在写作过程中, 一个较大的改动是将线性代数专门辟为一章。值得说明的一点是,在国外的数学专业代数教材中,很多是先讲抽象代数再讲线性代数,这样在逻辑上比较“顺”,可以把线性代数建立在一般域上；但这种讲法有一个缺点,就是与从具体到抽象的认识过程不一致。本书则是假定读者已学过高等代数教程,在线性代数这一章说明如何将线性代数的方法和结果推广到一般的体或域上, 此外加入张量、线性群、结式等在高等代数教程中不一定包含的内容,并初步介绍了线性表示。

除引言外,正文共有5章,内容是这样安排的: 第1章为群论,包括群的概念、同态与同构、表示的概念、交错群的单性、有限生成阿贝尔群的结构、同构定理与分解定理、西罗子群等,并对群论的历史发展和应用作了一个简单的回顾; 第2章为环论初步,包括环的概念、同态与理想、模、多项式环等; 第3章为线性代数,包括线性空间、多重线性代数、线性变换群、矩阵的标准形、结式等,并对线性表示作了初步介绍; 第4章为域论,包括素体、域扩张、代数扩张的构造、单位根、伽罗瓦域、本原元素定理、无限域扩张等; 第5章为伽罗瓦理论,包括伽罗瓦群、正规扩张、伽罗瓦扩张、伽罗瓦理论的基本定理、伽罗瓦理论的经典应用、范数与迹等。此外有三个附录: 附录 A 是为了读者的方便,将集合论中有关选择公理的一些内容列出; 附录B简单介绍了一般体或域上的射影几何,这些背景知识对于理解线性群是必要的; 正文每节后附有若干习题,其中带有星号的习题在附录C中给出参考解答(之所以称为“参考解答”是希望读者先尽可能尝试自己解答,而且读者也可能给出与书中不同的解答方法)。

本书中的数学用语均参照全国自然科学名词审定委员会1993 年公布的《数学名词》。对《数学名词》中未收入的词语一般采用一些暂定译名。

作者希望借此机会感谢与本丛书有关的专家们对本书出版的支持,感谢众多同事和学生对本书提出的宝贵意见和建议。