柏拉图体_在线百科全书查询
柏拉图体
1.说明
柏拉图体即为正多面体。
2.定义
定义：
如果一个多面体的所有面都是全等正多边形，所有多面角也全等，我们就说它是正多面体（柏拉图体）。
有无限多种正多边形，而正多面体只有五种。正多面体根据面的数目来命名，也就是：
4个正三角形的正4面体；
6个正方形的正6面体（立方体）；
8个正三角形的正8面体；
12个正五边形的正12面体；
20个正三角形的正20面体。
3.发展史
正多面体发源史已消失在过去的烟云里。欧几里德《原本》第八卷才开始用数学的眼光看它们。第一卷的第一个注释指出，本卷“将处理所谓的柏拉图体，那名称实在是错了。因为其中的三种，正4面体，立方体，正12面体来自毕达格拉斯学派，而正8面体和正20面体来自泰阿泰德（Theaeteus）。”事实也许真是这样。
不管怎么说，柏拉图描绘了5种正多面体。他在《蒂迈欧篇》里讲了如何拿正三角形，正方形和正五边形来构造正多面体的面。柏拉图的蒂迈欧（Timaeus），就是毕达格拉斯门下的洛克里的蒂迈欧。柏拉图大概在访问意大利时见过他。在柏拉图的作品里，蒂迈欧神秘地将4种易构造的多面体：正4面体，正6面体，正8面体，正20面体，配给恩培多克勒（Empedocles）的一切物质的四种基本“元素”：火气水土。剩下的正20面体，就特意拿它来联系包围我们的宇宙。
4.柏拉图体的特性
1）内接于同一个球的正12面体的体积大于正20面体的体积，立方体的体积大于正八面体的体积。
2）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有这共同的内接球，立方体和正八面体也有共同的内接球。
3）如果正12面体，正20面体和立方体内接于同一个球，那么正12面体的体积与正20面体的体积之比，等于立方体边长与正20面体的边长之比。
4）如果正12面体与正20面体内接于同一个球，那么二者体积之比等于表面积之比。
5）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有相等的表面周长。
5.柏拉图体只有5种的证明
顶点数V，面数F，棱数E
设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条 棱），即
nF=2E -------------- ①
同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即
mV=2E -------------- ②
由①、②，得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式V+F-E=2，
有2E/m+2E/n-E=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数，所以1/E>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- ③
说明m,n不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多 边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以有以下几种情况：
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种
6.柏拉图体展开图
柏拉图体展开图：
