阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一。他与牛顿、高斯并称为三大数学王子。如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。他甚至被人尊称为“数学之神”。

英国人希思（T?L?Heath，1861～1940）编的《阿基米德全集》未见收录，当然我国在1998年根据希思本由朱恩宽、李文铭译，叶彦润、常心怡校的中文版《阿基米德全集》（陕西科技出版社）也就没有收录阿基米德折弦定理。（虽然这本全集中未收录折弦定理，但一些竞赛书上还是给予了介绍）

阿拉伯Al-Biruni（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理。

"阿基米德折弦定理"：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＜AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即AB＋BG＝GC。

从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

大家都知道，平面几何中圆的下述性质：“过圆O上弧AB的中点，作弦AB的垂线，则垂足必将弦AB平分。”和圆的弦相同，折弦也对着两条弧，折弦也有自己的性质,即"阿基米德折弦定理".

证明方法：

已知: M为弧AC的中点 MG垂直弦BC 求证:CG=AB+BG 证明:延长AB到E使GB=BE 再连接兰色的线段 可得CM=AM ∠MCB=∠MAE(同弧所对圆周角) ∠MBE=∠MCA(∠MBA+∠MBE=∠MBA+∠MCA=180度)=∠MAC=∠MBC 所以三角形MGB 全等于三角形MEB 所以ME=MG且∠MEB=∠MGB=90度 又由上知 所以三角形MAE 全等于 三角形MCG 所以CG=AE=AB+BE=AB+BG

弦之定理，第三边平方，

等于下等式，双边平方和，

余弦乘双边，还有2倍之。

弦切角定理，圆周角相等。

切线和内弦，构成弦切角。

相交弦定理，两弦交圆中。

交点分两段，相乘皆相等。