阿基米德螺线_在线百科全书查询
阿基米德螺线
简介
阿基米德螺线（阿基米德曲线） ，亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。其首次由阿基米德在著作《论螺线》中给出了定义。
阿基米德螺线的发现
阿基米德（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄。11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问。从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一。后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的。柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了。
方程式
极坐标方程式
它的极坐标方程为：r = aθ
这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。
笛卡尔坐标方程式为：
r=10*(1+t)
x=r*cos(t / 360)
y=r*sin(t / 360)
z=0
阿基米德螺旋线的标准极坐标方程： r（θ）= a+ b（θ）
式中：
b—阿基米德螺旋线系数，mm/，表示每旋转1度时极径的增加（或减小）量；
θ—极角，单位为度，表示阿基米德螺旋线转过的总度数；
a—当θ=0时的极径，mm。
改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90/270得到其镜像，就是另一条螺线。
在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换：
极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值（图一） 。由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标（图二）。
在x=0的情况下：若y为正数，则θ=90(π/2radians)；若y为负，则θ=270(3π/2radians).
应用
为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，他发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。除了杠杆系统外，值得一提的还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。
一些喷淋冷却塔所用的螺旋喷嘴喷出喷淋液的运动轨迹也为阿基米德螺线。
更多曲线参见曲线列表
更多信息
阿基米德螺线 ，亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP一等速率运动的同时，这射线有以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。
它的极坐标方程为：r = aθ
这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。
笛卡尔坐标
方程式为：
r=10*(1+t)
x=r*cos(t / 360)
y=r*sin(t / 360)
z=0
一动点沿一直线作等速移动的同时，该直线又绕线上一点O作等角速度旋转时，动点所走的轨迹就是阿基米德涡线。直线旋转一周时，动点在直线上移动的距离称为导程用字母S表示。
阿基米德涡线在凸轮设计、车床卡盘设计、涡旋弹簧、螺纹、蜗杆设计中应用较多。阿基米德涡线画法如图：
（1）先以导程S为半径画圆，再将圆周及半径分成相同的n等分，图中n=8；
（2）以O为圆心，作各同心圆弧于相应数字的半径相交，得交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、…Ⅷ各点，即为阿基米德涡线上的点；
（3）依次光滑连接各点，即得阿基米德涡线。
与希皮亚斯割圆曲线相类似，阿基米德螺线不但可以用来三等分角，也可以用来化圆为方。不过，后者也是阿基米德自己完成的。如图一，螺线P=aθ的极点为O，第一圈终于点A。以O为圆心，a为半径作圆，则圆周长等于=OA。这样，阿基米德轻易解决化圆为方问题。
稍迟于阿基米德的阿波罗尼斯用圆柱螺线解决了化圆为方问题，如图4-2-27所示。设圆O是一直圆柱之底面，A是螺旋线之起始点。螺旋线在其上任一点P处的切线交底所在平面于T。则PT在底平面上的投影BT与AB相等。因此，当P点恰好为A点所在母线上离A最近的点时，TB与圆周长相等。从而化圆为方问题得以解决。
在阿波罗尼斯之后，机械师卡普斯（Carpus）也解过化圆为方问题。他所用的“双重运动曲线”今已失传，据数学史家唐内里（P. Tannery, 1843～1904）推测，它是摆线，亦即卡普斯是通过将圆沿直线滚动一周获得圆周长的（图二）。文艺复兴时期，意大利著名艺术大师达芬奇（1452～1519）为化圆为方问题所吸引，并获巧妙方法。如图4-2-29，设圆半径为R，以圆为底作高为R/2的圆柱，然后将圆柱在平面上滚动一周，得矩形。将矩形化方，即完成化圆为方。
以上我们看到，希腊人很早就意识到（但未能证明）三大难题不能以尺规在有限步骤内完成。但它们看似如此简单，以至希腊人未能抵制诱惑；他们不断寻求尺规以外的方法，结果导致圆锥曲线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线和螺线等高次曲线和超越曲线的相继发现。三大难题使一代又一代希腊数学家显示了非凡的聪明才智，并深刻影响了希腊几何的整个发展过程。
三大难题的魅力并未随希腊文明的沦亡而消失。事实上，从希腊以后特别是欧洲文艺复兴时期以来直到本世纪，对于它们的研究从停止过。
1837年，年轻的法国数学家万采尔（P. L. Wantzel，1814～1848）证明了三等分角和倍立方尺规作图之不可能性。1882年，德国数学家林德曼（C. Lindemann, 1852～1938）证明了π的超越性，从而证明了化圆为方的尺规作图之不可能性。以后数学家们又还建立了两条一般定理：
定理1 任何可用尺规由已知单位长度作出的量必为代数数；
定理2 若一有理系数三次方程没有有理根，则它的根不可能用尺规由一给定单位长度作出。
