扩展欧几里德定理

扩展欧几里德定理

对于与不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数。那么存在唯一的整

数 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。

c++语言实现

#include<iostream>

using namespace std;

int x,y,q;

void extend_Eulid(int a,int b)

{

if (b==0)

{

x=1; y=0; q=a;

}

else

{

extend_Eulid(b,a%b);

int temp=x;

x=y; y=temp-a/b*y;

}

}

int main()

{

int a,b;

cin>>a>>b;

if (a<b) swap(a,b);

extend_Eulid(a,b);

printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\",q,x,a,y,b);

}

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

结束。